Mostre que a equação diferencial
é exata em todo o
e exiba todas as suas possíveis soluções.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para mostrar que a equação diferencial dada é exata em todo o plano real
e encontrar todas as suas soluções. Para resolver isso, vamos trabalhar com equações diferenciais exatas, que fazem parte do estudo de equações diferenciais de primeira ordem. Precisaremos lembrar o que é uma equação diferencial exata e como identificar e resolver uma equação desse tipo.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação diferencial para identificar as funções que multiplicam
e
. A equação dada é:
Podemos reorganizar para a forma padrão:
Aqui, identificamos:
Passo 3
Uma equação diferencial na forma
é exata se a derivada parcial de
em relação a
for igual à derivada parcial de
em relação a
, ou seja:
Vamos calcular essas derivadas parciais.
Passo 4
Calculando
:
Derivando termo a termo em relação a
:
Então:
Passo 5
Agora, calculando
:
Derivando termo a termo em relação a
:
Aqui, usamos a regra do produto:
Então:
Passo 6
Comparando
e
:
Vemos que
. Portanto, a equação diferencial é exata em todo o
.
Passo 7
Agora que confirmamos que a equação é exata, podemos encontrar a solução geral. Sabemos que existe uma função
tal que:
Vamos integrar
em relação a
para encontrar
.
Passo 8
Integrando
em relação a
:
Vamos integrar termo a termo:
Para os dois primeiros integrais, note que temos funções do tipo
e , cuja integral é conhecida.
Usando a fórmula:
Aqui,
e
.
Passo 9
Aplicando as fórmulas:
-
-
-
, onde é a constante de integração.
Somando tudo:
Passo 10
Agora, para encontrar a solução geral, igualamos
a uma constante
:
Essa é a solução geral da equação diferencial exata dada.
Resposta
A solução geral da equação diferencial é
onde
é uma constante de integração.
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