[5, 0] Mostre que a equação diferencial
y * e^(x * y) * cos(2 * x) - 2 * e^(x * y) * sen(2 * x) + 2 * x + (x * e^(x * y) * cos(2 * x) - 3) * y' = 0
é exata em todo o R^2 e exiba todas as suas possíveis soluções.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para mostrar que a equação diferencial dada é exata em todo o plano real R^2 e encontrar todas as suas soluções. Para resolver isso, vamos trabalhar com equações diferenciais exatas, que fazem parte do estudo de equações diferenciais de primeira ordem. Precisaremos lembrar o que é uma equação diferencial exata e como identificar e resolver uma equação desse tipo.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação diferencial para identificar as funções que multiplicam e . A equação dada é:
Podemos reorganizar para a forma padrão:
Aqui, identificamos:

Passo 3

Uma equação diferencial na forma é exata se a derivada parcial de M em relação a y for igual à derivada parcial de N em relação a x, ou seja:
Vamos calcular essas derivadas parciais.

Passo 4

Calculando :
Derivando termo a termo em relação a :
  1. y
Então:

Passo 5

Agora, calculando :
Derivando termo a termo em relação a x:
Aqui, usamos a regra do produto:
Então:

Passo 6

Comparando e :
Vemos que . Portanto, a equação diferencial é exata em todo o .

Passo 7

Agora que confirmamos que a equação é exata, podemos encontrar a solução geral. Sabemos que existe uma função F(x, y) tal que:
Vamos integrar M em relação a x para encontrar F(x, y).

Passo 8

Integrando M(x, y) em relação a x:
Vamos integrar termo a termo:
Para os dois primeiros integrais, note que temos funções do tipo e , cuja integral é conhecida.
Usando a fórmula:
Aqui, e .

Passo 9

Aplicando as fórmulas:
  1. , onde é a constante de integração.
Somando tudo:

Passo 10

Agora, para encontrar a solução geral, igualamos F(x, y) a uma constante K:
Essa é a solução geral da equação diferencial exata dada.

Resposta

A solução geral da equação diferencial é
onde é uma constante de integração.

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