Calcule
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem que calcular a integral de linha
. Isso está relacionado aos cálculos de integrais de linha e utiliza um conceito chamado Teorema de Green. Para resolver isso, vamos precisar entender como transformar essa integral de linha em uma integral dupla para facilitar os cálculos.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma integral de linha. Basicamente, é uma forma de somar valores ao longo de uma curva
. No nosso caso, a curva é fechada, por isso usamos o símbolo de integral fechado
. A integral que temos é do tipo
, onde
e
.
Passo 3
Agora, para facilitar nossos cálculos, vamos aplicar o Teorema de Green. Esse teorema é super útil porque ele transforma uma integral de linha em uma integral dupla sobre a região
delimitada por
. A fórmula do Teorema de Green é:
Passo 4
Vamos calcular as derivadas parciais que aparecem na fórmula:
Substituindo na fórmula do Teorema de Green, temos:
Passo 5
A integral dupla
representa a área da região
delimitada pela curva
. Ou seja, a integral de linha que queremos calcular é igual à área dessa região.
Resposta
A integral
é igual à área da região delimitada por
.
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Calcule
é exata em todo o
e exiba todas as suas possíveis soluções.
Diga se as séries são convergentes ou divergentes:
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