Calcule
ointC x d x+(x+1) d y

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que calcular a integral de linha . Isso está relacionado aos cálculos de integrais de linha e utiliza um conceito chamado Teorema de Green. Para resolver isso, vamos precisar entender como transformar essa integral de linha em uma integral dupla para facilitar os cálculos.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma integral de linha. Basicamente, é uma forma de somar valores ao longo de uma curva . No nosso caso, a curva é fechada, por isso usamos o símbolo de integral fechado . A integral que temos é do tipo , onde e .

Passo 3

Agora, para facilitar nossos cálculos, vamos aplicar o Teorema de Green. Esse teorema é super útil porque ele transforma uma integral de linha em uma integral dupla sobre a região ointC P, dx + Q, dy = integral duplaD ( partial Qpartial x - partial Ppartial y ) dx, dy delimitada por . A fórmula do Teorema de Green é:

Passo 4

Vamos calcular as derivadas parciais que aparecem na fórmula:
  • ointC x, dx + (x + 1), dy = integral duplaD (1 - 0), dx, dy = integral duplaD 1, dx, dy
Substituindo na fórmula do Teorema de Green, temos:

Passo 5

A integral dupla representa a área da região delimitada pela curva . Ou seja, a integral de linha que queremos calcular é igual à área dessa região.

Resposta

A integral é igual à área da região delimitada por .

Exercícios relacionados