Calcule
Passo 1
Vamos calcular a integral de linha
Este exercício envolve o Cálculo de Integrais de Linha e utilizaremos o Teorema de Green para resolver. Precisaremos saber identificar as funções envolvidas na integral e aplicar o teorema corretamente para transformar a integral de linha em uma integral dupla sobre a região delimitada pela curva
.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o Teorema de Green, que relaciona uma integral de linha ao redor de uma curva fechada
com uma integral dupla sobre a região
delimitada por
. O teorema é dado por:
Aqui,
e
são funções de
e
.
Passo 3
Identificamos as funções
e
na nossa integral:
Passo 4
Agora, vamos calcular as derivadas parciais necessárias:
Substituindo na expressão do Teorema de Green:
Passo 5
Com isso, a integral dupla fica:
Esta integral representa a área da região
delimitada pela curva
.
Resposta
A integral é igual à área da região limitada pela curva
. Ou seja,
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