Se 5% das lâmpadas de certa marca são defeituosas, ache a probabilidade de que, numa amostra de 100 lâmpadas, escolhidas ao acaso, tenhamos: nenhuma defeituosa;

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão juntos! A gente tem um problema de probabilidade, especificamente usando a distribuição binomial. A pergunta é: se 5% das lâmpadas são defeituosas, qual a chance de, escolhendo 100 lâmpadas ao acaso, nenhuma delas ser defeituosa? Vamos precisar entender a fórmula da distribuição binomial para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa ter 5% de lâmpadas defeituosas. Isso quer dizer que a probabilidade de uma lâmpada ser defeituosa é , e a de não ser defeituosa é .

Passo 3

Como estamos escolhendo 100 lâmpadas, a gente vai usar a distribuição binomial, que é ótima para calcular a probabilidade de um certo número de sucessos em várias tentativas independentes. A fórmula é:
P(k) = binomnk cdot p^k cdot q^n-k
Onde:
  • é o número total de lâmpadas.
  • é o número de lâmpadas defeituosas que queremos (nenhuma).
  • é o coeficiente binomial, que calcula de quantas maneiras podemos escolher defeituosas em tentativas.

Passo 4

Vamos calcular cada parte da fórmula:
  • O coeficiente binomial , porque só tem uma maneira de não escolher nenhuma lâmpada defeituosa.
  • , já que qualquer número elevado a 0 é 1.
  • , que é a probabilidade de todas as 100 lâmpadas não serem defeituosas.

Passo 5

Agora, juntando tudo:
P(0) = 1 cdot 1 cdot 0,95^100 = 0,95^100

Passo 6

Vamos calcular 0,95^100 approx 0,00592 . Usando uma calculadora, encontramos que:

Resposta

A probabilidade de que, numa amostra de 100 lâmpadas, nenhuma seja defeituosa é aproximadamente 0,59%.

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