. 65 Formou-se gelo em um pequeno lago e o regime estacionário foi atingido com o ar acima do gelo a 5,0^circ C e o fundo do lago a 4,0^circ C. Se a profundidade total do gelo + água é 1,4 m, qual é a espessura do gelo? (Suponha que a condutividade térmica do gelo é 0,40 e a da água é 0,12 cal / m cdot C^circ cdot s.)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um lago onde se formou gelo e atingiu um regime estacionário, ou seja, as condições estão estáveis. A temperatura do ar acima do gelo é de 5,0°C e a temperatura no fundo do lago é de 4,0°C. A profundidade total do gelo mais a água é de 1,4 metros. Queremos descobrir qual é a espessura do gelo. Para isso, vamos usar conceitos de condutividade térmica, que nos ajuda a entender como o calor se move através de materiais diferentes.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa condutividade térmica. Ela indica a capacidade de um material conduzir o calor. Quanto maior a condutividade, mais fácil é para o calor passar pelo material. No nosso caso, a condutividade térmica do gelo é 0,40 cal/m·°C·s e a da água é 0,12 cal/m·°C·s.

Passo 3

Como estamos em regime estacionário, a quantidade de calor que passa pelo gelo deve ser igual à quantidade de calor que passa pela água. Vamos chamar a espessura do gelo de metros. Assim, a espessura da água será metros, já que a profundidade total é 1,4 metros.

Passo 4

Vamos usar a fórmula da condutividade térmica para igualar os fluxos de calor:
k>=lo cdot De=lox = kágua cdot Deáá
Onde:
  • (considerando que a temperatura na interface gelo-água é 0°C)
  • á
  • á

Passo 5

Substituindo os valores na equação:
0,40 cdot 5x = 0,12 cdot 41,4 - x
Simplificando:
2x = 0,481,4 - x

Passo 6

Agora, vamos resolver essa equação para encontrar 2 cdot (1,4 - x) = 0,48 cdot x :
2,8 - 2x = 0,48x
Distribuindo o 2:
2,8 = 2,48x
Somando x = 2,82,48 approx 1,129 , metros em ambos os lados:
Dividindo ambos os lados por 2,48:

Resposta

A espessura do gelo é aproximadamente 1,13 metros.

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