. 65 Formou-se gelo em um pequeno lago e o regime estacionário foi atingido com o ar acima do gelo a
e o fundo do lago a
. Se a profundidade total do gelo + água é
, qual é a espessura do gelo? (Suponha que a condutividade térmica do gelo é 0,40 e a da água é
.)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um lago onde se formou gelo e atingiu um regime estacionário, ou seja, as condições estão estáveis. A temperatura do ar acima do gelo é de 5,0°C e a temperatura no fundo do lago é de 4,0°C. A profundidade total do gelo mais a água é de 1,4 metros. Queremos descobrir qual é a espessura do gelo. Para isso, vamos usar conceitos de condutividade térmica, que nos ajuda a entender como o calor se move através de materiais diferentes.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa condutividade térmica. Ela indica a capacidade de um material conduzir o calor. Quanto maior a condutividade, mais fácil é para o calor passar pelo material. No nosso caso, a condutividade térmica do gelo é 0,40 cal/m·°C·s e a da água é 0,12 cal/m·°C·s.
Passo 3
Como estamos em regime estacionário, a quantidade de calor que passa pelo gelo deve ser igual à quantidade de calor que passa pela água. Vamos chamar a espessura do gelo de
metros. Assim, a espessura da água será
metros, já que a profundidade total é 1,4 metros.
Passo 4
Vamos usar a fórmula da condutividade térmica para igualar os fluxos de calor:
Onde:
-
-
(considerando que a temperatura na interface gelo-água é 0°C) -
-
Passo 5
Substituindo os valores na equação:
Simplificando:
Passo 6
Agora, vamos resolver essa equação para encontrar
:
Distribuindo o 2:
Somando
em ambos os lados:
Dividindo ambos os lados por 2,48:
Resposta
A espessura do gelo é aproximadamente 1,13 metros.