. . 65 Um satélite está em uma órbita circular de raio
em torno da Terra. A área
delimitada pela órbita é proporcional a
, já que
. Determine a forma de variação com
das seguintes propriedades do satélite: (a) o período, (b) a energia cinética, © o momento angular e (d) a velocidade escalar.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um satélite que tá girando em uma órbita circular ao redor da Terra, com raio
. A área dessa órbita é
. Precisamos descobrir como o período, a energia cinética, o momento angular e a velocidade do satélite variam em função de
. Para isso, vamos usar conceitos de física como a lei da gravitação de Newton, movimento circular e energia cinética.
Passo 2
(a) Período (
)
Primeiro, vamos encontrar como o período
depende do raio
. O período é o tempo que o satélite leva para dar uma volta completa na órbita.
Sabemos pela Lei da Gravitação Universal de Newton que a força gravitacional que mantém o satélite na órbita é igual à força centrípeta necessária para o movimento circular:
Aqui,
é a constante gravitacional,
é a massa da Terra,
é a massa do satélite e
é a velocidade do satélite.
Podemos simplificar cancelando
e multiplicando ambos os lados por
:
Agora, a velocidade
também está relacionada ao período
pela circunferência da órbita:
Substituindo essa expressão na equação anterior:
Resolvendo para
:
Então, o período
varia com
.
Passo 3
(b) Energia Cinética (
)
A energia cinética do satélite é dada por:
Já sabemos que:
Então, substituindo:
Portanto, a energia cinética
varia inversamente com
.
Passo 4
© Momento Angular (
)
O momento angular para um movimento circular é dado por:
Usando a expressão para
:
Substituindo:
Isso mostra que o momento angular
varia com
.
Passo 5
(d) Velocidade Escalar (
)
Já derivamos anteriormente que:
Então, a velocidade escalar
varia com
, ou seja, diminui conforme o raio aumenta.
Resposta
(a) O período
varia com
.
(b) A energia cinética
varia inversamente com
.
© O momento angular
varia com
.
(d) A velocidade escalar
varia com
.
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