. . 65 Um satélite está em uma órbita circular de raio r em torno da Terra. A área A delimitada pela órbita é proporcional a r^2, já que A=pi r^2. Determine a forma de variação com r das seguintes propriedades do satélite: (a) o período, (b) a energia cinética, © o momento angular e (d) a velocidade escalar.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um satélite que tá girando em uma órbita circular ao redor da Terra, com raio . A área dessa órbita é . Precisamos descobrir como o período, a energia cinética, o momento angular e a velocidade do satélite variam em função de . Para isso, vamos usar conceitos de física como a lei da gravitação de Newton, movimento circular e energia cinética.

Passo 2

(a) Período ( G M mr^2 = m v^2r )
Primeiro, vamos encontrar como o período G Mr = v^2 depende do raio v = 2 pi rT . O período é o tempo que o satélite leva para dar uma volta completa na órbita.
Sabemos pela Lei da Gravitação Universal de Newton que a força gravitacional que mantém o satélite na órbita é igual à força centrípeta necessária para o movimento circular:
G Mr = ( 2 pi rT )^2
Aqui, T^2 = 4 pi^2 r^3G M é a constante gravitacional, é a massa da Terra, é a massa do satélite e é a velocidade do satélite.
Podemos simplificar cancelando e multiplicando ambos os lados por :
Agora, a velocidade também está relacionada ao período pela circunferência da órbita:
Substituindo essa expressão na equação anterior:
Resolvendo para :
Então, o período varia com .

Passo 3

(b) Energia Cinética ( K = 12 m v^2 )
A energia cinética do satélite é dada por:
v^2 = G Mr
Já sabemos que:
K = 12 m ( G Mr ) = G M m2 r
Então, substituindo:
Portanto, a energia cinética varia inversamente com .

Passo 4

© Momento Angular ( L = m v r )
O momento angular para um movimento circular é dado por:
v = raizG Mr
Usando a expressão para L = m raizG Mr cdot r = m raizG M r :
Substituindo:
Isso mostra que o momento angular varia com .

Passo 5

(d) Velocidade Escalar ( v = raizG Mr )
Já derivamos anteriormente que:
Então, a velocidade escalar varia com , ou seja, diminui conforme o raio aumenta.

Resposta

(a) O período varia com .
(b) A energia cinética varia inversamente com .
© O momento angular varia com .
(d) A velocidade escalar varia com .

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