. . 65 Um satélite está em uma órbita circular de raio em torno da Terra. A área delimitada pela órbita é proporcional a , já que . Determine a forma de variação com das seguintes propriedades do satélite: (a) o período, (b) a energia cinética, © o momento angular e (d) a velocidade escalar.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um satélite que tá girando em uma órbita circular ao redor da Terra, com raio . A área dessa órbita é . Precisamos descobrir como o período, a energia cinética, o momento angular e a velocidade do satélite variam em função de . Para isso, vamos usar conceitos de física como a lei da gravitação de Newton, movimento circular e energia cinética.

Passo 2

(a) Período ( )
Primeiro, vamos encontrar como o período depende do raio . O período é o tempo que o satélite leva para dar uma volta completa na órbita.
Sabemos pela Lei da Gravitação Universal de Newton que a força gravitacional que mantém o satélite na órbita é igual à força centrípeta necessária para o movimento circular:
Aqui, é a constante gravitacional, é a massa da Terra, é a massa do satélite e é a velocidade do satélite.
Podemos simplificar cancelando e multiplicando ambos os lados por :
Agora, a velocidade também está relacionada ao período pela circunferência da órbita:
Substituindo essa expressão na equação anterior:
Resolvendo para :
Então, o período varia com .

Passo 3

(b) Energia Cinética ( )
A energia cinética do satélite é dada por:
Já sabemos que:
Então, substituindo:
Portanto, a energia cinética varia inversamente com .

Passo 4

© Momento Angular ( )
O momento angular para um movimento circular é dado por:
Usando a expressão para :
Substituindo:
Isso mostra que o momento angular varia com .

Passo 5

(d) Velocidade Escalar ( )
Já derivamos anteriormente que:
Então, a velocidade escalar varia com , ou seja, diminui conforme o raio aumenta.

Resposta

(a) O período varia com .
(b) A energia cinética varia inversamente com .
© O momento angular varia com .
(d) A velocidade escalar varia com .

Exercícios relacionados

Uma bobina de 120 espiras, com de raio e uma resistência de , é coaxial com um solenoide de 220 espiras/cm e de diâmetro. A corrente no solenoide diminui de 1,5 A para zero em um intervalo de tempo . Qual é a corrente induzida na bobina no intervalo ?
Resposta: 30 mA
Uma transparência iluminada é mantida a 44 cm de distância de uma tela. A que distância da transparência deve ser colocada uma lente com uma distância focal de 11 cm para que uma imagem da transparência se forme na tela?
A Emissividade de uma Chapa de Aço Galvanizado, um material usado normalmente em telhados, é igual a 0,13 a uma Temperatura de, aproximadamente, 300 K , enquanto a Absortividade em relação à Irradiação Solar é de . Um gato das redondezas se sentiria confortável ao andar sobre o telhado construído com este material em um dia no qual ?
Considere que a Superfície Inferior da Chapa esteja isolada termicamente.