Dois discos de mesma massa e raios diferentes (
e
gram em torno de um eixo sem atrito, com a mesma rapidez angular
mas em sentidos opostos (Figura 10-49). Os dois discos são lentamente aproximados. A força de atrito entre as superfícies faz com que eles passem a ter a mesma velocidade angular. (a) Qual é a magnitude valocidade angular final, em termos de
? (b) Qual a variação da energia cinética de rotação do sistema? Explique.
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Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão fala sobre dois discos com a mesma massa, mas com raios diferentes (
e
), girando em torno de um eixo sem atrito. Eles têm a mesma rapidez angular inicial
, mas giram em sentidos opostos. Quando os discos são aproximados, o atrito faz com que eles acabem girando na mesma velocidade angular. Vamos precisar usar conceitos de momento de inércia e conservação do momento angular para resolver essa questão.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é momento de inércia. O momento de inércia (
) é uma medida de quanto um objeto resiste a mudanças em seu movimento de rotação. Para um disco sólido girando em torno de seu eixo, o momento de inércia é dado por:
onde
é a massa do disco e
é o raio.
Passo 3
Agora, vamos calcular o momento de inércia de cada disco. Como ambos têm a mesma massa
, mas raios diferentes, temos:
Para o primeiro disco (raio
):
Para o segundo disco (raio
):
Passo 4
Antes de serem aproximados, os discos têm velocidades angulares
em sentidos opostos. Vamos considerar
positiva para um disco e
para o outro devido aos sentidos opostos.
O momento angular total inicial (
) é a soma dos momentos angulares de cada disco:
Passo 5
Quando os discos são aproximados e o atrito atua, eles atingem uma velocidade angular final comum
. O momento angular total final (
) será:
Passo 6
Pela conservação do momento angular,
:
Podemos simplificar multiplicando ambos os lados por
:
Passo 7
Resolvendo para
:
A magnitude da velocidade angular final é
.
Resposta
(a) A magnitude da velocidade angular final é
.
(b) A variação da energia cinética de rotação do sistema é negativa, indicando que a energia foi dissipada pelo atrito durante o processo de equalização das velocidades angulares.