Dois discos de mesma massa e raios diferentes ( e gram em torno de um eixo sem atrito, com a mesma rapidez angular mas em sentidos opostos (Figura 10-49). Os dois discos são lentamente aproximados. A força de atrito entre as superfícies faz com que eles passem a ter a mesma velocidade angular. (a) Qual é a magnitude valocidade angular final, em termos de ? (b) Qual a variação da energia cinética de rotação do sistema? Explique.
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Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão fala sobre dois discos com a mesma massa, mas com raios diferentes ( e ), girando em torno de um eixo sem atrito. Eles têm a mesma rapidez angular inicial , mas giram em sentidos opostos. Quando os discos são aproximados, o atrito faz com que eles acabem girando na mesma velocidade angular. Vamos precisar usar conceitos de momento de inércia e conservação do momento angular para resolver essa questão.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é momento de inércia. O momento de inércia ( ) é uma medida de quanto um objeto resiste a mudanças em seu movimento de rotação. Para um disco sólido girando em torno de seu eixo, o momento de inércia é dado por:
onde é a massa do disco e é o raio.

Passo 3

Agora, vamos calcular o momento de inércia de cada disco. Como ambos têm a mesma massa , mas raios diferentes, temos:
Para o primeiro disco (raio ):
Para o segundo disco (raio ):

Passo 4

Antes de serem aproximados, os discos têm velocidades angulares em sentidos opostos. Vamos considerar positiva para um disco e para o outro devido aos sentidos opostos.
O momento angular total inicial ( ) é a soma dos momentos angulares de cada disco:

Passo 5

Quando os discos são aproximados e o atrito atua, eles atingem uma velocidade angular final comum . O momento angular total final ( ) será:

Passo 6

Pela conservação do momento angular, :
Podemos simplificar multiplicando ambos os lados por :

Passo 7

Resolvendo para :
A magnitude da velocidade angular final é .

Resposta

(a) A magnitude da velocidade angular final é .
(b) A variação da energia cinética de rotação do sistema é negativa, indicando que a energia foi dissipada pelo atrito durante o processo de equalização das velocidades angulares.

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