Dois discos de mesma massa e raios diferentes ( r e 2r gram em torno de um eixo sem atrito, com a mesma rapidez angular theta0 mas em sentidos opostos (Figura 10-49). Os dois discos são lentamente aproximados. A força de atrito entre as superfícies faz com que eles passem a ter a mesma velocidade angular. (a) Qual é a magnitude valocidade angular final, em termos de omega0? (b) Qual a variação da energia cinética de rotação do sistema? Explique.
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Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão fala sobre dois discos com a mesma massa, mas com raios diferentes ( r e 2r), girando em torno de um eixo sem atrito. Eles têm a mesma rapidez angular inicial omega0, mas giram em sentidos opostos. Quando os discos são aproximados, o atrito faz com que eles acabem girando na mesma velocidade angular. Vamos precisar usar conceitos de momento de inércia e conservação do momento angular para resolver essa questão.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é momento de inércia. O momento de inércia ( I) é uma medida de quanto um objeto resiste a mudanças em seu movimento de rotação. Para um disco sólido girando em torno de seu eixo, o momento de inércia é dado por:
I = 12 m r^2
onde m é a massa do disco e r é o raio.

Passo 3

Agora, vamos calcular o momento de inércia de cada disco. Como ambos têm a mesma massa m, mas raios diferentes, temos:
Para o primeiro disco (raio r):
I1 = 12 m r^2
Para o segundo disco (raio 2r):
I2 = 12 m (2r)^2 = 12 m cdot 4r^2 = 2 m r^2

Passo 4

Antes de serem aproximados, os discos têm velocidades angulares omega0 em sentidos opostos. Vamos considerar omega0 positiva para um disco e -omega0 para o outro devido aos sentidos opostos.
O momento angular total inicial ( Linicial) é a soma dos momentos angulares de cada disco:
Linicial = I1 omega0 + I2 (-omega0) = 12 m r^2 omega0 - 2 m r^2 omega0 = -32 m r^2 omega0

Passo 5

Quando os discos são aproximados e o atrito atua, eles atingem uma velocidade angular final comum omegaf. O momento angular total final ( Lfinal) será:
Lfinal = (I1 + I2) omegaf = (12 m r^2 + 2 m r^2) omegaf = 52 m r^2 omegaf

Passo 6

Pela conservação do momento angular, Linicial = Lfinal:
-32 m r^2 omega0 = 52 m r^2 omegaf
Podemos simplificar multiplicando ambos os lados por 2m r^2:
-3 omega0 = 5 omegaf

Passo 7

Resolvendo para omegaf:
omegaf = -35 omega0
A magnitude da velocidade angular final é 35 omega0.

Resposta

(a) A magnitude da velocidade angular final é 35 omega0.
(b) A variação da energia cinética de rotação do sistema é negativa, indicando que a energia foi dissipada pelo atrito durante o processo de equalização das velocidades angulares.

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