A aceleração de um ponto material é definida por a=k t^2, no sistema internacional de unidades.
Escrever as equações que caracterizam o movimento, sabendo-se também que x=6 m quanto t=2 s.

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que a questão pede! A gente tem a aceleração de um ponto material definida por $ a = k t^{2} $ no Sistema Internacional de Unidades. A gente precisa encontrar as equações que descrevem o movimento desse ponto, sabendo que quando o tempo $ t = 2 $ segundos, a posição $ x = 6 $ metros. Para resolver isso, vamos usar conceitos de cinemática, especificamente a integração da aceleração para achar a velocidade e depois a posição.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a aceleração é a derivada da velocidade em relação ao tempo. Então, para encontrar a velocidade $ v(t) $, vamos integrar a aceleração:
v(t)

Passo 3

Integrando $ k t^{2} $ em relação a $ t $, temos:
k t^2
Aqui, $ C_{1} $ é a constante de integração que representa a velocidade inicial. Se não tivermos informação sobre a velocidade inicial, a deixamos como $ C_{1} $.

Passo 4

Agora, para encontrar a posição $ x(t) $, vamos integrar a velocidade:
x(t)

Passo 5

Fazendo a integração, obtemos:
x(t) = k3 integral t^3 , dt + C1 integral dt = k t^412 + C1 t + C2
Aqui, $ C_{2} $ é outra constante de integração que representa a posição inicial.

Passo 6

Agora, vamos usar a informação que $ x = 6 $ metros quando $ t = 2 $ segundos para encontrar as constantes. Substituindo esses valores na equação da posição:
x = 6
t = 2
6 = k (2)^412 + C1 (2) + C2

Passo 7

Sem informações adicionais sobre as condições iniciais (como $ v(0) $ ou $ x(0) $), não conseguimos determinar valores específicos para $ C_{1} $ e $ C_{2} $. Portanto, as equações que caracterizam o movimento são:
Para a velocidade:
v(0)
Para a posição:
x(0)

Resposta

As equações que descrevem o movimento são:
v(t) = k t^33 + C1
x(t) = k t^412 + C1 t + C2

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