Achar o ângulo theta entre as retas:
(a) r:lx=-2-2 t y=2 t z=3-4 t e s:lx=4 t y=2 t-6 z=2 t+1;

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o ângulo theta entre duas retas no espaço tridimensional. Para isso, vamos usar vetores de direção das retas e a fórmula do produto escalar para calcular o ângulo entre eles. Vamos precisar lembrar como identificar os vetores de direção a partir das equações paramétricas e aplicar a fórmula do cosseno do ângulo entre dois vetores.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os vetores de direção das retas r e s. Nas equações paramétricas, o que multiplica o parâmetro t nos componentes x, y e z forma o vetor de direção.
Para a reta r:
v = -2 2 -4
Para a reta s:
w = 4 2 2

Passo 3

Agora que temos os vetores de direção v e w, vamos usar a fórmula do produto escalar para achar o cosseno do ângulo entre eles. A fórmula é:
cos theta = v cdot w||v|| , ||w||

Passo 4

Vamos calcular o produto escalar v cdot w. Isso significa multiplicar os componentes correspondentes dos vetores e somar os resultados:
v cdot w = (-2)(4) + (2)(2) + (-4)(2) = -8 + 4 - 8 = -12

Passo 5

Em seguida, vamos calcular as normas (ou módulos) dos vetores v e w. A norma de um vetor a = ax ay az é dada por:
||a|| = raizax^2 + ay^2 + az^2
Calculando para v:
||v|| = raiz(-2)^2 + 2^2 + (-4)^2 = raiz4 + 4 + 16 = raiz24 = 2raiz6
E para w:
||w|| = raiz4^2 + 2^2 + 2^2 = raiz16 + 4 + 4 = raiz24 = 2raiz6

Passo 6

Agora, substituímos os valores encontrados na fórmula do cosseno:
cos theta = -12(2raiz6)(2raiz6) = -124 times 6 = -1224 = -0.5

Passo 7

Por fim, para encontrar o ângulo theta, tiramos o arco cosseno de -0.5:
theta = arccos(-0.5) = 120^circ

Resposta

O ângulo theta entre as retas r e s é 120^circ.

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