Achar o ângulo entre as retas:
(a) e s:lx=4 t y=2 t-6 z=2 t+1;
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o ângulo theta entre duas retas no espaço tridimensional. Para isso, vamos usar vetores de direção das retas e a fórmula do produto escalar para calcular o ângulo entre eles. Vamos precisar lembrar como identificar os vetores de direção a partir das equações paramétricas e aplicar a fórmula do cosseno do ângulo entre dois vetores.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar os vetores de direção das retas r e s. Nas equações paramétricas, o que multiplica o parâmetro t nos componentes x, y e z forma o vetor de direção.
Para a reta r:
v = -2 2 -4
Para a reta s:
w = 4 2 2
Passo 3
Agora que temos os vetores de direção v e w, vamos usar a fórmula do produto escalar para achar o cosseno do ângulo entre eles. A fórmula é:
cos theta = v cdot w||v|| , ||w||
Passo 4
Vamos calcular o produto escalar v cdot w. Isso significa multiplicar os componentes correspondentes dos vetores e somar os resultados:
v cdot w = (-2)(4) + (2)(2) + (-4)(2) = -8 + 4 - 8 = -12
Passo 5
Em seguida, vamos calcular as normas (ou módulos) dos vetores v e w. A norma de um vetor a = ax ay az é dada por: