Achar dois números positivos cuja soma seja 70 e cujo produto seja o maior possível.

Passo 1

Vamos entender o que está sendo pedido. O exercício quer que a gente encontre dois números positivos. A soma desses números precisa ser 70 e, além disso, o produto deles deve ser o maior possível. Aqui, estamos lidando com otimização, que é uma parte da matemática focada em encontrar o melhor resultado dentro de determinadas condições. Para resolver este problema, vamos precisar de um pouco de álgebra e talvez algumas noções de cálculo.

Passo 2

Primeiro, vamos chamar os dois números de x e y. Do enunciado, sabemos que x + y = 70. Para um dos números, podemos expressar o outro em função dele. Assim, se isolarmos y, temos:
y = 70 - x
Agora, como queremos maximizar o produto P = x cdot y, vamos substituir y na equação do produto:
P = x cdot (70 - x)
Desenvolvendo isso, temos:
P = 70x - x^2

Passo 3

Agora que temos a expressão do produto em função de x, precisamos maximizar essa função quadrática. Esse tipo de função tem a forma ax^2 + bx + c, e sabemos que a parábola correspondente se abre para baixo (porque o coeficiente de x^2 é negativo). O máximo será encontrado no vértice da parábola. A fórmula do vértice para a função P = ax^2 + bx + c é dada por:
xvértice = -b2a é
Aqui, a = -1 e b = 70. Agora, substituímos esses valores na fórmula:
xvértice = -702 cdot (-1) = 702 = 35 é

Passo 4

Como achamos que x = 35, vamos descobrir o valor de y agora. Substituímos x de volta na equação que encontramos anteriormente:
y = 70 - x = 70 - 35 = 35
Portanto, temos que os dois números que estamos procurando são x = 35 e y = 35.

Resposta

Os dois números positivos cuja soma é 70 e cujo produto é o maior possível são 35 e 35.

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