Achar dois números positivos cuja soma seja 70 e cujo produto seja o maior possível.
Passo 1
Vamos entender o que está sendo pedido. O exercício quer que a gente encontre dois números positivos. A soma desses números precisa ser 70 e, além disso, o produto deles deve ser o maior possível. Aqui, estamos lidando com otimização, que é uma parte da matemática focada em encontrar o melhor resultado dentro de determinadas condições. Para resolver este problema, vamos precisar de um pouco de álgebra e talvez algumas noções de cálculo.
Passo 2
Primeiro, vamos chamar os dois números de
e
. Do enunciado, sabemos que
. Para um dos números, podemos expressar o outro em função dele. Assim, se isolarmos
, temos:
Agora, como queremos maximizar o produto
, vamos substituir
na equação do produto:
Desenvolvendo isso, temos:
Passo 3
Agora que temos a expressão do produto em função de
, precisamos maximizar essa função quadrática. Esse tipo de função tem a forma
, e sabemos que a parábola correspondente se abre para baixo (porque o coeficiente de
é negativo). O máximo será encontrado no vértice da parábola. A fórmula do vértice para a função
é dada por:
Aqui,
e
. Agora, substituímos esses valores na fórmula:
Passo 4
Como achamos que
, vamos descobrir o valor de
agora. Substituímos
de volta na equação que encontramos anteriormente:
Portanto, temos que os dois números que estamos procurando são
e
.
Resposta
Os dois números positivos cuja soma é 70 e cujo produto é o maior possível são 35 e 35.