Calcule integral triplaB x d x d y d z, onde B é o conjunto x >= 0 e x^2+y^2+z^2 <= 4.

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral tripla integral triplaB x , dx , dy , dz. Aqui, o conjunto B está definido por duas condições: x >= 0 e x^2+y^2+z^2 <= 4. Essa última condição define uma esfera de raio 2 (porque 2^2 = 4) centrada na origem. Então, estamos lidando com a metade da esfera, já que x tem que ser maior ou igual a zero. Vamos usar coordenadas esféricas para facilitar a conta!

O que precisamos:

  • Transformar a integral em coordenadas esféricas, que são definidas como:
    • x = r sin theta cos phi
    • y = r sin theta sin phi
    • z = r cos theta
    • E o volume diferencial em coordenadas esféricas é dV = r^2 sin theta , dr , dtheta , dphi.

Passo 2

Agora, vamos definir os limites de integração. Como estamos pegando a metade da esfera (onde x >= 0), podemos estabelecer os limites para cada variável:
  • Para r, já sabemos que ele varia de 0 até 2, que é o raio da esfera.
  • Para theta, que é o ângulo polar, varia de 0 até pi (para cobrir a esfera toda na direção do eixo z).
  • Para phi, que é o ângulo azimutal, varia de -pi2 até pi2 (para cobrir apenas a metade onde x é positivo).
Agora nossa integral se torna:
integral0^2 integral0^pi integral-pi2^pi2 (r sin theta cos phi) r^2 sin theta , dphi , dtheta , dr
Que se simplifica para:
integral0^2 integral0^pi integral-pi2^pi2 r^3 sin^2 theta cos phi , dphi , dtheta , dr

Passo 3

Vamos resolver essa integral passo a passo. Começamos pela integral em phi:
integral-pi2^pi2 cos phi , dphi
Essa integral é fácil, pois o integral de cos phi é sin phi. Calculando:
[ sin phi ]-pi2^pi2 = sin(pi2) - sin(-pi2) = 1 - (-1) = 2
Substituindo isso de volta na integral, agora temos:
integral0^2 integral0^pi r^3 sin^2 theta cdot 2 , dtheta , dr
Simplificando, ficamos com:
2 integral0^2 r^3 , dr integral0^pi sin^2 theta , dtheta

Passo 4

Agora, vamos resolver as duas integrais separadamente.
Primeiro, a integral em r:
integral0^2 r^3 , dr = [ r^44 ]0^2 = 2^44 - 0 = 164 = 4
Agora, vamos resolver a integral em theta:
Para integral0^pi sin^2 theta , dtheta, podemos usar a fórmula:
integral sin^2 theta , dtheta = 12 (theta - sin(2theta)2)
Então, calculando:
[ 12 (theta - sin(2theta)2) ]0^pi = 12 ( pi - 0 ) = pi2

Passo 5

Agora juntando tudo na integral original, temos:
2 cdot 4 cdot pi2 = 4pi

Resposta

O resultado da integral integral triplaB x , dx , dy , dz é 4pi.

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