Calcule
, onde
é o conjunto
e
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver a integral tripla
. Aqui, o conjunto
está definido por duas condições:
e
. Essa última condição define uma esfera de raio 2 (porque
) centrada na origem. Então, estamos lidando com a metade da esfera, já que
tem que ser maior ou igual a zero. Vamos usar coordenadas esféricas para facilitar a conta!
O que precisamos:
- Transformar a integral em coordenadas esféricas, que são definidas como:
-
-
-
- E o volume diferencial em coordenadas esféricas é
.
-
Passo 2
Agora, vamos definir os limites de integração. Como estamos pegando a metade da esfera (onde
), podemos estabelecer os limites para cada variável:
- Para
, já sabemos que ele varia de até , que é o raio da esfera. - Para
, que é o ângulo polar, varia de até (para cobrir a esfera toda na direção do eixo ). - Para
, que é o ângulo azimutal, varia de até (para cobrir apenas a metade onde é positivo).
Agora nossa integral se torna:
Que se simplifica para:
Passo 3
Vamos resolver essa integral passo a passo. Começamos pela integral em
:
Essa integral é fácil, pois o integral de
é
. Calculando:
Substituindo isso de volta na integral, agora temos:
Simplificando, ficamos com:
Passo 4
Agora, vamos resolver as duas integrais separadamente.
Primeiro, a integral em
:
Agora, vamos resolver a integral em
:
Para
, podemos usar a fórmula:
Então, calculando:
Passo 5
Agora juntando tudo na integral original, temos:
Resposta
O resultado da integral
é
.