Encontre a solução do p.v.i. dado: y^prime prime+4 y=0, y(0)=0, y^prime(0)=1

Passo 1

Vamos resumir o que o exercício está pedindo. Temos uma equação diferencial do tipo valor inicial (p.v.i.), que é y^prime prime+4y=0, com as condições iniciais y(0)=0 e y^prime(0)=1. Vamos encontrar a solução dessa equação. O conteúdo da matéria envolve equações diferenciais de segunda ordem, que geralmente tratamos resolvendo a equação característica.

Passo 2

Primeiro, precisamos resolver a equação diferencial y^prime prime+4y=0. Para fazer isso, vamos escrever a equação característica associada. Uma equação diferencial do tipo y^prime prime + ay = 0 tem uma equação característica do tipo r^2 + a = 0. Aqui, nosso a é 4, então a equação característica será:
r^2 + 4 = 0
Resolvendo essa equação, temos:
r^2 = -4 implies r = pm 2i
Como temos raízes complexas, a solução geral para a equação diferencial é dada por:
y(t) = C1 cos(2t) + C2 sin(2t)
onde C1 e C2 são constantes que precisamos determinar utilizando as condições iniciais.

Passo 3

Agora, vamos aplicar as condições iniciais. A primeira condição é y(0) = 0. Substituindo t=0 na solução geral:
y(0) = C1 cos(0) + C2 sin(0) = C1 cdot 1 + C2 cdot 0 = C1
Como sabemos que y(0) = 0, temos que C1 = 0.
A próxima condição é y^prime(0) = 1. Precisamos primeiro encontrar a derivada de y(t). A derivada de y(t) é:
y^prime(t) = -2C1 sin(2t) + 2C2 cos(2t)
Agora, substituindo t=0:
y^prime(0) = -2C1 sin(0) + 2C2 cos(0) = -2C1 cdot 0 + 2C2 cdot 1 = 2C2
Como sabemos que y^prime(0) = 1, temos que:
2C2 = 1 implies C2 = 12

Resposta

Agora que encontramos os valores de C1 e C2, podemos substituir na solução geral:
y(t) = 0 cdot cos(2t) + 12 sin(2t) = 12 sin(2t)
Assim, a solução do p.v.i. dado é:
y(t) = 12 sin(2t)

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