Encontre a solução do p.v.i. dado:
Passo 1
Vamos resumir o que o exercício está pedindo. Temos uma equação diferencial do tipo valor inicial (p.v.i.), que é
, com as condições iniciais
e
. Vamos encontrar a solução dessa equação. O conteúdo da matéria envolve equações diferenciais de segunda ordem, que geralmente tratamos resolvendo a equação característica.
Passo 2
Primeiro, precisamos resolver a equação diferencial
. Para fazer isso, vamos escrever a equação característica associada. Uma equação diferencial do tipo
tem uma equação característica do tipo
. Aqui, nosso
é 4, então a equação característica será:
Resolvendo essa equação, temos:
Como temos raízes complexas, a solução geral para a equação diferencial é dada por:
onde
e
são constantes que precisamos determinar utilizando as condições iniciais.
Passo 3
Agora, vamos aplicar as condições iniciais. A primeira condição é
. Substituindo
na solução geral:
Como sabemos que
, temos que
.
A próxima condição é
. Precisamos primeiro encontrar a derivada de
. A derivada de
é:
Agora, substituindo
:
Como sabemos que
, temos que:
Resposta
Agora que encontramos os valores de
e
, podemos substituir na solução geral:
Assim, a solução do p.v.i. dado é: