Encontre a solução do p.v.i. dado:

Passo 1

Vamos resumir o que o exercício está pedindo. Temos uma equação diferencial do tipo valor inicial (p.v.i.), que é , com as condições iniciais e . Vamos encontrar a solução dessa equação. O conteúdo da matéria envolve equações diferenciais de segunda ordem, que geralmente tratamos resolvendo a equação característica.

Passo 2

Primeiro, precisamos resolver a equação diferencial . Para fazer isso, vamos escrever a equação característica associada. Uma equação diferencial do tipo tem uma equação característica do tipo . Aqui, nosso é 4, então a equação característica será:
Resolvendo essa equação, temos:
Como temos raízes complexas, a solução geral para a equação diferencial é dada por:
onde e são constantes que precisamos determinar utilizando as condições iniciais.

Passo 3

Agora, vamos aplicar as condições iniciais. A primeira condição é . Substituindo na solução geral:
Como sabemos que , temos que .
A próxima condição é . Precisamos primeiro encontrar a derivada de . A derivada de é:
Agora, substituindo :
Como sabemos que , temos que:

Resposta

Agora que encontramos os valores de e , podemos substituir na solução geral:
Assim, a solução do p.v.i. dado é:

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