Achar os pontos sobre a curva y = x^2 mais próximos do ponto P = (0,2).

Passo 1

Então, o que a gente tem aqui é um exercício de Geometria Analítica. A ideia é descobrir quais são os pontos na curva que estão mais próximos do ponto . Para resolver isso, vamos usar conceitos de distância entre pontos e otimização. Vamos passo a passo entender como achar esses pontos mais próximos.

Passo 2

Primeiro, vamos pensar na distância entre dois pontos no plano. A fórmula para calcular a distância entre dois pontos e é dada por:
No nosso caso, queremos a distância entre um ponto qualquer na curva e o ponto . Então, substituímos na fórmula:

Passo 3

Para facilitar os cálculos, em vez de trabalhar com a distância , vamos trabalhar com o quadrado da distância . Isso evita a raiz quadrada e simplifica a derivação. Então temos:

Passo 4

Agora, queremos encontrar os valores de que minimizam . Para fazer isso, vamos usar o cálculo diferencial, especificamente derivando em relação a e igualando a derivada a zero para encontrar os pontos críticos.
A derivada de em relação a é:

Passo 5

Agora, igualamos a derivada a zero para encontrar os possíveis valores de :
Fatorando:
Isso nos dá duas soluções:

Passo 6

Agora, temos três valores de : , e . Vamos encontrar os correspondentes valores de usando a equação da curva :
  1. Para :
    Então, o ponto é .
  2. Para :
    Então, o ponto é .
  3. Para :
    Então, o ponto é .

Passo 7

Por último, vamos verificar qual desses pontos realmente minimiza a distância. Observando que :
  • Para :
  • Para :
Como , os pontos e são os mais próximos de .

Resposta

Os pontos sobre a curva mais próximos do ponto são e .

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<html><head></head><body><div>Se numa indústria forem produzidas de 200 a 230 unidades de uma peça, haverá um rendimento semanal de <span class="math-inline ">
<mjx-container class=“MathJax” jax=“SVG”><svg style=“vertical-align: -0.439ex;” xmlns=“
http://www.w3.org/2000/svg” width=“9.511ex” height=“2.136ex” role=“img” focusable=“false” viewBox=“0 -750 4203.7 944”><title>R</title><g stroke=“currentColor” fill=“currentColor” stroke-width=“0” transform=“scale(1,-1)”><g data-mml-node=“math”><g data-mml-node=“mi”><path data-c=“1D445” d=“M230 637Q203 637 198 638T193 649Q193 676 204 682Q206 683 378 683Q550 682 564 680Q620 672 658 652T712 606T733 563T739 529Q739 484 710 445T643 385T576 351T538 338L545 333Q612 295 612 223Q612 212 607 162T602 80V71Q602 53 603 43T614 25T640 16Q668 16 686 38T712 85Q717 99 720 102T735 105Q755 105 755 93Q755 75 731 36Q693 -21 641 -21H632Q571 -21 531 4T487 82Q487 109 502 166T517 239Q517 290 474 313Q459 320 449 321T378 323H309L277 193Q244 61 244 59Q244 55 245 54T252 50T269 48T302 46H333Q339 38 339 37T336 19Q332 6 326 0H311Q275 2 180 2Q146 2 117 2T71 2T50 1Q33 1 33 10Q33 12 36 24Q41 43 46 45Q50 46 61 46H67Q94 46 127 49Q141 52 146 61Q149 65 218 339T287 628Q287 635 230 637ZM630 554Q630 586 609 608T523 636Q521 636 500 636T462 637H440Q393 637 386 627Q385 624 352 494T319 361Q319 360 388 360Q466 361 492 367Q556 377 592 426Q608 449 619 486T630 554Z”></path></g><g data-mml-node=“mi” transform=“translate(759,0)”><path data-c=“24” d=“M162 187Q162 164 146 149T109 133H103V130Q108 115 115 105Q122 92 131 82T150 64T170 52T190 44T206 40T220 37L227 36V313Q190 320 162 335Q116 358 86 404T55 508Q55 567 85 614T165 685Q186 696 225 704H227V750H273V704L286 703Q369 690 413 631Q441 588 444 531Q444 514 443 509Q439 490 425 479T391 468Q368 468 353 483T337 522Q337 546 353 560T390 575L394 576V578Q386 599 372 614T342 637T314 649T288 656L273 658V408L288 405Q329 394 355 376Q396 348 420 300T444 199Q444 130 408 76T313 1Q286 -9 276 -9H273V-56H227V-10H221Q202 -6 193 -4T155 11T108 41T74 94T55 176V182Q55 227 95 238Q103 240 108 240Q129 240 145 226T162 187ZM225 657Q219 657 204 651T169 632T135 594T121 538Q121 512 131 491T156 457T187 435T213 423T227 420V539Q227 657 225 657ZM378 169Q378 230 339 265T274 301Q273 301 273 169V37Q324 50 351 87T378 169Z”></path></g><g data-mml-node=“mn” transform=“translate(1259,0)”><path data-c=“35” d=“M164 157Q164 133 148 117T109 101H102Q148 22 224 22Q294 22 326 82Q345 115 345 210Q345 313 318 349Q292 382 260 382H254Q176 382 136 314Q132 307 129 306T114 304Q97 304 95 310Q93 314 93 485V614Q93 664 98 664Q100 666 102 666Q103 666 123 658T178 642T253 634Q324 634 389 662Q397 666 402 666Q410 666 410 648V635Q328 538 205 538Q174 538 149 544L139 546V374Q158 388 169 396T205 412T256 420Q337 420 393 355T449 201Q449 109 385 44T229 -22Q148 -22 99 32T50 154Q50 178 61 192T84 210T107 214Q132 214 148 197T164 157Z”></path><path data-c=“34” d=“M462 0Q444 3 333 3Q217 3 199 0H190V46H221Q241 46 248 46T265 48T279 53T286 61Q287 63 287 115V165H28V211L179 442Q332 674 334 675Q336 677 355 677H373L379 671V211H471V165H379V114Q379 73 379 66T385 54Q393 47 442 46H471V0H462ZM293 211V545L74 212L183 211H293Z” transform=“translate(500,0)”></path><path data-c=“30” d=“M96 585Q152 666 249 666Q297 666 345 640T423 548Q460 465 460 320Q460 165 417 83Q397 41 362 16T301 -15T250 -22Q224 -22 198 -16T137 16T82 83Q39 165 39 320Q39 494 96 585ZM321 597Q291 629 250 629Q208 629 178 597Q153 571 145 525T137 333Q137 175 145 125T181 46Q209 16 250 16Q290 16 318 46Q347 76 354 130T362 333Q362 478 354 524T321 597Z” transform=“translate(1000,0)”></path></g><g data-mml-node=“mo” transform=“translate(2759,0)”><path data-c=“2C” d=“M78 35T78 60T94 103T137 121Q165 121 187 96T210 8Q210 -27 201 -60T180 -117T154 -158T130 -185T117 -194Q113 -194 104 -185T95 -172Q95 -168 106 -156T131 -126T157 -76T173 -3V9L172 8Q170 7 167 6T161 3T152 1T140 0Q113 0 96 17Z”></path></g><g data-mml-node=“mn” transform=“translate(3203.7,0)”><path data-c=“30” d=“M96 585Q152 666 249 666Q297 666 345 640T423 548Q460 465 460 320Q460 165 417 83Q397 41 362 16T301 -15T250 -22Q224 -22 198 -16T137 16T82 83Q39 165 39 320Q39 494 96 585ZM321 597Q291 629 250 629Q208 629 178 597Q153 571 145 525T137 333Q137 175 145 125T181 46Q209 16 250 16Q290 16 318 46Q347 76 354 130T362 333Q362 478 354 524T321 597Z”></path><path data-c=“30” d=“M96 585Q152 666 249 666Q297 666 345 640T423 548Q460 465 460 320Q460 165 417 83Q397 41 362 16T301 -15T250 -22Q224 -22 198 -16T137 16T82 83Q39 165 39 320Q39 494 96 585ZM321 597Q291 629 250 629Q208 629 178 597Q153 571 145 525T137 333Q137 175 145 125T181 46Q209 16 250 16Q290 16 318 46Q347 76 354 130T362 333Q362 478 354 524T321 597Z” transform=“translate(500,0)”></path></g></g></g></svg></mjx-container></span> por cada unidade. Entretanto se forem produzidas mais de 230 peças, o rendimento semanal em cada peça será reduzido em <span class="math-inline ">
<mjx-container class=“MathJax” jax=“SVG”><svg style=“vertical-align: -0.439ex;” xmlns=“http://www.w3.org/2000/svg” width=“7.248ex” height=“2.136ex” role=“img” focusable=“false” viewBox=“0 -750 3203.7 944”><title>por cada unidade. Entretanto se forem produzidas mais de 230 peças, o rendimento semanal em cada peça será reduzido em</title><g stroke=“currentColor” fill=“currentColor” stroke-width=“0” transform=“scale(1,-1)”><g data-mml-node=“math”><g data-mml-node=“mi”><path data-c=“1D445” d=“M230 637Q203 637 198 638T193 649Q193 676 204 682Q206 683 378 683Q550 682 564 680Q620 672 658 652T712 606T733 563T739 529Q739 484 710 445T643 385T576 351T538 338L545 333Q612 295 612 223Q612 212 607 162T602 80V71Q602 53 603 43T614 25T640 16Q668 16 686 38T712 85Q717 99 720 102T735 105Q755 105 755 93Q755 75 731 36Q693 -21 641 -21H632Q571 -21 531 4T487 82Q487 109 502 166T517 239Q517 290 474 313Q459 320 449 321T378 323H309L277 193Q244 61 244 59Q244 55 245 54T252 50T269 48T302 46H333Q339 38 339 37T336 19Q332 6 326 0H311Q275 2 180 2Q146 2 117 2T71 2T50 1Q33 1 33 10Q33 12 36 24Q41 43 46 45Q50 46 61 46H67Q94 46 127 49Q141 52 146 61Q149 65 218 339T287 628Q287 635 230 637ZM630 554Q630 586 609 608T523 636Q521 636 500 636T462 637H440Q393 637 386 627Q385 624 352 494T319 361Q319 360 388 360Q466 361 492 367Q556 377 592 426Q608 449 619 486T630 554Z”></path></g><g data-mml-node=“mi” transform=“translate(759,0)”><path data-c=“24” d=“M162 187Q162 164 146 149T109 133H103V130Q108 115 115 105Q122 92 131 82T150 64T170 52T190 44T206 40T220 37L227 36V313Q190 320 162 335Q116 358 86 404T55 508Q55 567 85 614T165 685Q186 696 225 704H227V750H273V704L286 703Q369 690 413 631Q441 588 444 531Q444 514 443 509Q439 490 425 479T391 468Q368 468 353 483T337 522Q337 546 353 560T390 575L394 576V578Q386 599 372 614T342 637T314 649T288 656L273 658V408L288 405Q329 394 355 376Q396 348 420 300T444 199Q444 130 408 76T313 1Q286 -9 276 -9H273V-56H227V-10H221Q202 -6 193 -4T155 11T108 41T74 94T55 176V182Q55 227 95 238Q103 240 108 240Q129 240 145 226T162 187ZM225 657Q219 657 204 651T169 632T135 594T121 538Q121 512 131 491T156 457T187 435T213 423T227 420V539Q227 657 225 657ZM378 169Q378 230 339 265T274 301Q273 301 273 169V37Q324 50 351 87T378 169Z”></path></g><g data-mml-node=“mn” transform=“translate(1259,0)”><path data-c=“32” d=“M109 429Q82 429 66 447T50 491Q50 562 103 614T235 666Q326 666 387 610T449 465Q449 422 429 383T381 315T301 241Q265 210 201 149L142 93L218 92Q375 92 385 97Q392 99 409 186V189H449V186Q448 183 436 95T421 3V0H50V19V31Q50 38 56 46T86 81Q115 113 136 137Q145 147 170 174T204 211T233 244T261 278T284 308T305 340T320 369T333 401T340 431T343 464Q343 527 309 573T212 619Q179 619 154 602T119 569T109 550Q109 549 114 549Q132 549 151 535T170 489Q170 464 154 447T109 429Z”></path></g><g data-mml-node=“mo” transform=“translate(1759,0)”><path data-c=“2C” d=“M78 35T78 60T94 103T137 121Q165 121 187 96T210 8Q210 -27 201 -60T180 -117T154 -158T130 -185T117 -194Q113 -194 104 -185T95 -172Q95 -168 106 -156T131 -126T157 -76T173 -3V9L172 8Q170 7 167 6T161 3T152 1T140 0Q113 0 96 17Z”></path></g><g data-mml-node=“mn” transform=“translate(2203.7,0)”><path data-c=“30” d=“M96 585Q152 666 249 666Q297 666 345 640T423 548Q460 465 460 320Q460 165 417 83Q397 41 362 16T301 -15T250 -22Q224 -22 198 -16T137 16T82 83Q39 165 39 320Q39 494 96 585ZM321 597Q291 629 250 629Q208 629 178 597Q153 571 145 525T137 333Q137 175 145 125T181 46Q209 16 250 16Q290 16 318 46Q347 76 354 130T362 333Q362 478 354 524T321 597Z”></path><path data-c=“30” d=“M96 585Q152 666 249 666Q297 666 345 640T423 548Q460 465 460 320Q460 165 417 83Q397 41 362 16T301 -15T250 -22Q224 -22 198 -16T137 16T82 83Q39 165 39 320Q39 494 96 585ZM321 597Q291 629 250 629Q208 629 178 597Q153 571 145 525T137 333Q137 175 145 125T181 46Q209 16 250 16Q290 16 318 46Q347 76 354 130T362 333Q362 478 354 524T321 597Z” transform=“translate(500,0)”></path></g></g></g></svg></mjx-container></span> por cada peça a mais. Determine o maior rendimento semanal da indústria.</div>
</body></html>
Calcule as integrais indefinidas, utilizando a técnica de substituição trigonométrica:
(g)
Se uma lata fechada com um volume fio deve ter a forma de um cilindro circular reto, ache a razão entre a altura e o raio da base se a quantidade de material usado na fabricação for mínima.
Calcule as seguintes integrais indefinidas:
(a)