Se uma lata fechada com um volume fio deve ter a forma de um cilindro circular reto, ache a razão entre a altura e o raio da base se a quantidade de material usado na fabricação for mínima.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma lata fechada com um volume fixo que é um cilindro circular reto. A missão aqui é encontrar a razão entre a altura
e o raio da base
que faz com que a quantidade de material usada na fabricação seja a menor possível. Para resolver isso, a gente vai precisar entender as fórmulas do volume e da área superficial do cilindro, e depois usar um pouco de cálculo para otimizar a relação entre
e
.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que o volume
de um cilindro é dado por:
Como o volume é fixo, essa relação vai nos ajudar a expressar uma variável em termos da outra.
Passo 3
A área superficial
de um cilindro fechado é a soma das áreas das duas bases circulares e da área lateral. Ou seja:
Queremos minimizar essa área
para usar o mínimo de material.
Passo 4
Como o volume
é fixo, podemos isolar
na equação do volume:
Agora, vamos substituir essa expressão de
na fórmula da área
:
Agora nossa tarefa é minimizar
em termos de
.
Passo 5
Para encontrar o valor de
que minimiza
, vamos derivar
em relação a
e igualar a derivada a zero:
Resolvendo essa equação para
:
Passo 6
Agora que temos
, vamos voltar na expressão de
:
Simplificando:
Passo 7
Agora, queremos a razão
:
Sabendo que
, então:
Resposta
A razão entre a altura
e o raio
que minimiza a quantidade de material usado é aproximadamente
, o que dá cerca de 2,52.
Exercícios relacionados
Achar os pontos sobre a curva
mais próximos do ponto
.
Se numa indústria forem produzidas de 200 a 230 unidades de uma peça, haverá um rendimento semanal de
por cada unidade. Entretanto se forem produzidas mais de 230 peças, o rendimento semanal em cada peça será reduzido em
por cada peça a mais. Determine o maior rendimento semanal da indústria.
Calcule as seguintes integrais indefinidas:
(a)
(a)
Calcule as integrais indefinidas, utilizando a técnica de substituição:
(e)
(e)