Se uma lata fechada com um volume fio deve ter a forma de um cilindro circular reto, ache a razão entre a altura e o raio da base se a quantidade de material usado na fabricação for mínima.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma lata fechada com um volume fixo que é um cilindro circular reto. A missão aqui é encontrar a razão entre a altura e o raio da base que faz com que a quantidade de material usada na fabricação seja a menor possível. Para resolver isso, a gente vai precisar entender as fórmulas do volume e da área superficial do cilindro, e depois usar um pouco de cálculo para otimizar a relação entre e .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o volume de um cilindro é dado por:
Como o volume é fixo, essa relação vai nos ajudar a expressar uma variável em termos da outra.

Passo 3

A área superficial de um cilindro fechado é a soma das áreas das duas bases circulares e da área lateral. Ou seja:
Queremos minimizar essa área para usar o mínimo de material.

Passo 4

Como o volume é fixo, podemos isolar na equação do volume:
Agora, vamos substituir essa expressão de na fórmula da área :
Agora nossa tarefa é minimizar em termos de .

Passo 5

Para encontrar o valor de que minimiza , vamos derivar em relação a e igualar a derivada a zero:
Resolvendo essa equação para :

Passo 6

Agora que temos , vamos voltar na expressão de :
Simplificando:

Passo 7

Agora, queremos a razão :
Sabendo que , então:

Resposta

A razão entre a altura e o raio que minimiza a quantidade de material usado é aproximadamente , o que dá cerca de 2,52.

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Calcule as seguintes integrais indefinidas:
(a)
Calcule as integrais indefinidas, utilizando a técnica de substituição:
(e)