Para achar a profundidade de um poço, uma pessoa deixou cair nele uma pedra e 3,0s depois ouviu o barulho do seu choque com o fundo do poço. Sabendo-se que a velocidade do som no ar vale 340m/s:
a) Calcule o tempo que a pedra gastou para chegar ao fundo do poço.
b) Determine a profundidade do poço.
c) Qual seria o erro cometido no cálculo da profundidade se fosse desprezado o tempo que o som gasta para chegar ao ouvido da pessoa? (Expresse esse erro em forma percentual).
a) Calcule o tempo que a pedra gastou para chegar ao fundo do poço.
b) Determine a profundidade do poço.
c) Qual seria o erro cometido no cálculo da profundidade se fosse desprezado o tempo que o som gasta para chegar ao ouvido da pessoa? (Expresse esse erro em forma percentual).
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de física juntos! A gente precisa descobrir a profundidade de um poço usando o tempo que uma pedra leva para cair e o som do impacto chegar até a gente. Vamos usar conceitos de movimento de queda livre e velocidade do som. Para isso, vamos precisar das fórmulas da cinemática para objetos em queda e da relação entre distância, velocidade e tempo.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que acontece quando a pedra é solta no poço. Ela começa a cair devido à gravidade, e o tempo que leva para atingir o fundo depende da aceleração da gravidade. Depois que a pedra bate no fundo, o som do impacto viaja de volta pelo poço até nossos ouvidos. O tempo total que a pessoa escuta o barulho é a soma do tempo que a pedra leva para cair mais o tempo que o som leva para subir.
Passo 3
Vamos chamar:
- $ t_1 $ = tempo que a pedra leva para cair.
- $ t_2 $ = tempo que o som leva para subir.
O tempo total é $ t = t_1 + t_2 = 3,0 $ segundos.
Passo 4
Primeiro, precisamos achar $ t_1 $ (o tempo da pedra caindo). Sabemos que o som viaja a 340 m/s, então o tempo que o som leva para subir é $ t_2 = \frac{d}{340} $, onde $ d $ é a profundidade do poço.
Mas também sabemos que a pedra está em queda livre, então a profundidade $ d $ pode ser calculada usando a fórmula da queda livre:
onde $ g = 9,8 , m/s^2 $ é a aceleração da gravidade.
Passo 5
Como $ t = t_1 + t_2 = t_1 + \frac{d}{340} $ e $ d = \frac{1}{2} g t_1^2 $, podemos substituir $ d $ na primeira equação:
Simplificando:
Passo 6
Agora, temos uma equação quadrática em termos de $ t_1 $:
Vamos resolver essa equação usando a fórmula de Bhaskara:
onde $ a = 0,0144 $, $ b = 1 $ e $ c = -3,0 $.
Calculando o discriminante:
Agora, aplicando na fórmula:
Desconsideramos a solução negativa, pois o tempo não pode ser negativo:
Passo 7
Então, o tempo que a pedra gastou para chegar ao fundo do poço é aproximadamente 2,84 segundos.
Passo 8
Agora, vamos encontrar a profundidade do poço usando $ d = \frac{1}{2} g t_1^2 $:
Passo 9
Portanto, a profundidade do poço é aproximadamente 39,5 metros.
Passo 10
Para calcular o erro cometido se ignorarmos o tempo que o som leva para subir, vamos considerar apenas o tempo total de 3,0 segundos como o tempo de queda $ t_1’ = 3,0 $ segundos.
Calculando a profundidade sem considerar o som:
Agora, o erro é a diferença entre $ d’ $ e $ d $:
Para achar o erro percentual:
Resposta
a) O tempo que a pedra gastou para chegar ao fundo do poço é aproximadamente 2,84 segundos.
b) A profundidade do poço é cerca de 39,5 metros.
c) O erro cometido ao desprezar o tempo que o som leva para chegar é de aproximadamente 11,7%.