Para achar a profundidade de um poço, uma pessoa deixou cair nele uma pedra e 3,0s depois ouviu o barulho do seu choque com o fundo do poço. Sabendo-se que a velocidade do som no ar vale 340m/s:
a) Calcule o tempo que a pedra gastou para chegar ao fundo do poço.
b) Determine a profundidade do poço.
c) Qual seria o erro cometido no cálculo da profundidade se fosse desprezado o tempo que o som gasta para chegar ao ouvido da pessoa? (Expresse esse erro em forma percentual).​

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de física juntos! A gente precisa descobrir a profundidade de um poço usando o tempo que uma pedra leva para cair e o som do impacto chegar até a gente. Vamos usar conceitos de movimento de queda livre e velocidade do som. Para isso, vamos precisar das fórmulas da cinemática para objetos em queda e da relação entre distância, velocidade e tempo.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que acontece quando a pedra é solta no poço. Ela começa a cair devido à gravidade, e o tempo que leva para atingir o fundo depende da aceleração da gravidade. Depois que a pedra bate no fundo, o som do impacto viaja de volta pelo poço até nossos ouvidos. O tempo total que a pessoa escuta o barulho é a soma do tempo que a pedra leva para cair mais o tempo que o som leva para subir.

Passo 3

Vamos chamar:
  • $ t_1 $ = tempo que a pedra leva para cair.
  • $ t_2 $ = tempo que o som leva para subir.
    O tempo total é $ t = t_1 + t_2 = 3,0 $ segundos.

Passo 4

Primeiro, precisamos achar $ t_1 $ (o tempo da pedra caindo). Sabemos que o som viaja a 340 m/s, então o tempo que o som leva para subir é $ t_2 = \frac{d}{340} $, onde $ d $ é a profundidade do poço.
Mas também sabemos que a pedra está em queda livre, então a profundidade $ d $ pode ser calculada usando a fórmula da queda livre:
t1
onde $ g = 9,8 , m/s^2 $ é a aceleração da gravidade.

Passo 5

Como $ t = t_1 + t_2 = t_1 + \frac{d}{340} $ e $ d = \frac{1}{2} g t_1^2 $, podemos substituir $ d $ na primeira equação:
t = t1 + t2 = t1 + d340
Simplificando:
d = 12 g t1^2
d
t = t1 + 12 g t1^2340

Passo 6

Agora, temos uma equação quadrática em termos de $ t_1 $:
t1
Vamos resolver essa equação usando a fórmula de Bhaskara:
0,0144 t1^2 + t1 - 3,0 = 0
onde $ a = 0,0144 $, $ b = 1 $ e $ c = -3,0 $.
Calculando o discriminante:
t1 = -b pm raizb^2 - 4ac2a
Agora, aplicando na fórmula:
a = 0,0144
b = 1
Desconsideramos a solução negativa, pois o tempo não pode ser negativo:
c = -3,0

Passo 7

Então, o tempo que a pedra gastou para chegar ao fundo do poço é aproximadamente 2,84 segundos.

Passo 8

Agora, vamos encontrar a profundidade do poço usando $ d = \frac{1}{2} g t_1^2 $:
d = 12 g t1^2
d = 12 times 9,8 times (2,84)^2
d = 4,9 times 8,07

Passo 9

Portanto, a profundidade do poço é aproximadamente 39,5 metros.

Passo 10

Para calcular o erro cometido se ignorarmos o tempo que o som leva para subir, vamos considerar apenas o tempo total de 3,0 segundos como o tempo de queda $ t_1’ = 3,0 $ segundos.
Calculando a profundidade sem considerar o som:
t1' = 3,0
d' = 12 times 9,8 times (3,0)^2
d' = 4,9 times 9
Agora, o erro é a diferença entre $ d’ $ e $ d $:
d' = 44,1 , metros
Para achar o erro percentual:
d'

Resposta

a) O tempo que a pedra gastou para chegar ao fundo do poço é aproximadamente 2,84 segundos.
b) A profundidade do poço é cerca de 39,5 metros.
c) O erro cometido ao desprezar o tempo que o som leva para chegar é de aproximadamente 11,7%.

Exercícios relacionados