Um homem corre o mais rápido que pode por uma esteira rolante, levando 2,5s para ir de uma extremidade a outra. Os seguranças aparecem e o homem volta ao ponto de partida, correndo o mais rápido que pode, levando 10 s. Qual é a razão entre a velocidade do homem e a da esteira? Dê o valor aproximado.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um homem correndo numa esteira rolante. Primeiro, ele vai de um lado ao outro levando 2,5 segundos. Depois, quando os seguranças aparecem, ele volta para o ponto de partida correndo mais rápido e leva 10 segundos. A gente precisa descobrir a razão entre a velocidade do homem e a velocidade da esteira. Para resolver isso, vamos usar conceitos de movimento relativo, onde consideramos as velocidades do homem e da esteira em relação ao chão.
Passo 2
Vamos chamar a velocidade do homem de $ v_h $ e a velocidade da esteira de $ v_e $. Quando o homem está indo de um lado para o outro na esteira, ele está se movendo na mesma direção da esteira. Então, a velocidade efetiva dele em relação ao chão é $ v_h + v_e $.
Passo 3
Ao voltar, o homem está correndo na direção oposta à da esteira. Portanto, a velocidade efetiva dele em relação ao chão é $ v_h - v_e $.
Passo 4
Vamos determinar o comprimento da esteira, que chamaremos de $ L $. Quando ele vai na direção da esteira, o tempo levado é de 2,5 segundos. Podemos usar a fórmula:
Passo 5
Na volta, o tempo levado é de 10 segundos. Então, usando a mesma fórmula para o comprimento da esteira:
Passo 6
Agora temos duas expressões para $ L $:
Vamos resolver essa equação para encontrar a razão $ \frac{v_h}{v_e} $.
Passo 7
Primeiro, expandimos a equação:
Passo 8
Vamos reorganizar os termos para juntar os $ v_h $ de um lado e os $ v_e $ do outro:
Simplificando:
Passo 9
Agora, dividimos ambos os lados por $ v_e $ e também eliminamos os sinais negativos:
Passo 10
Por fim, isolamos $ \frac{v_h}{v_e} $:
Resposta
A razão entre a velocidade do homem e a da esteira é aproximadamente $ 1,67 $.