Ache a densidade de
; (10 pontos)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrar a densidade de
. Isso está no campo da Estatística, mais especificamente em Transformações de Variáveis Aleatórias. Para resolver isso, vamos precisar entender como transformar a densidade de uma variável aleatória
para uma nova variável
que é uma combinação linear de
.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é a densidade de uma variável aleatória. A densidade de probabilidade, representada por
, descreve a probabilidade de
assumir certos valores. Quando fazemos uma transformação linear
, onde
e
são constantes, precisamos ajustar a densidade original para refletir essa mudança.
Passo 3
No nosso caso, a transformação é
. Aqui,
e
. A fórmula para a densidade de
em termos da densidade de
é:
Isso significa que a densidade de
é a densidade de
avaliada em
, multiplicada por
.
Passo 4
Aplicando os valores de
e
na fórmula, temos:
Passo 5
Então, a densidade de
é simplesmente a densidade de
, mas ajustada para a transformação linear que fizemos. Isso garante que as propriedades de probabilidade sejam mantidas após a transformação.
Resposta
A densidade de
é dada por: