Teste, para o nível de significância de , se os dados abaixo provêm de uma distribuição exponencial, com . (OBS: Usar 4 intervalos).
0,378 0,391 0,458 0,063 0,009
1,007 0,470 0,368 0,831 0,387
0,228 0,389 0,627 0,480 0,093
0,123 0,089 0,646 0,093 0,400
Dica: A fda de uma variável exponencial é dada por
.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente verificar, com um nível de significância de 1%, se os dados fornecidos vêm de uma distribuição exponencial com parâmetro . Para isso, vamos usar um teste de aderência, especificamente o teste do qui-quadrado, dividindo os dados em 4 intervalos. Vamos precisar entender como funciona a distribuição exponencial, calcular as frequências observadas e esperadas em cada intervalo, e depois aplicar a fórmula do qui-quadrado para ver se há uma diferença significativa.

Passo 2

Primeiro, vamos organizar os dados. Temos 20 observações:
0,378; 0,391; 0,458; 0,063; 0,009; 1,007; 0,470; 0,368; 0,831; 0,387; 0,228; 0,389; 0,627; 0,480; 0,093; 0,123; 0,089; 0,646; 0,093; 0,400.

Passo 3

Agora, precisamos definir os 4 intervalos para a distribuição exponencial com . A distribuição exponencial é contínua e vai de 0 ao infinito, mas para facilitar, vamos calcular os pontos que dividem a área sob a curva em 4 partes iguais. Ou seja, cada intervalo terá uma probabilidade de 25%.
Usando a função inversa da CDF:
.
Para , , , e , temos:
  • ,
  • ,
  • ,
  • .
Então, nossos intervalos são:
  1. ,
  2. ,
  3. ,
  4. .

Passo 4

Vamos contar quantos dados caem em cada intervalo (frequência observada, ):
  1. : 0,063; 0,009; 0,093; 0,123; 0,089; 0,093 → 6 valores.
  2. : 0,378; 0,391; 0,458; 1,007; 0,470; 0,368; 0,831; 0,387; 0,389; 0,627; 0,480; 0,400 → 12 valores.
  3. : — Não há dados nessa faixa → 0 valores.
  4. : — Não há dados nessa faixa → 0 valores.
Então:
  • ,
  • ,
  • ,
  • .

Passo 5

Agora, vamos calcular as frequências esperadas ( ) para cada intervalo. Como usamos 4 intervalos com igual probabilidade, cada intervalo deveria ter 25% das 20 observações, ou seja:
para todos os intervalos.
Então:
  • ,
  • ,
  • ,
  • .

Passo 6

Vamos calcular o valor do teste do qui-quadrado usando a fórmula:
.
Calculando para cada intervalo:
  1. ,
  2. ,
  3. ,
  4. .
Somando tudo:
.

Passo 7

Agora, precisamos comparar o valor calculado do qui-quadrado com o valor crítico da distribuição qui-quadrado para 3 graus de liberdade (número de intervalos menos 1) e nível de significância de 1%.
Consultando a tabela de qui-quadrado, o valor crítico para e 3 graus de liberdade é aproximadamente 11,345.

Passo 8

Como nosso valor calculado é maior que o valor crítico , rejeitamos a hipótese nula.

Resposta

Com um valor de maior que o crítico de , rejeitamos a hipótese de que os dados vêm de uma distribuição exponencial com ao nível de significância de 1%.

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