Teste, para o nível de significância de
, se os dados abaixo provêm de uma distribuição exponencial, com
. (OBS: Usar 4 intervalos).
0,378 | 0,391 | 0,458 | 0,063 | 0,009 |
---|---|---|---|---|
1,007 | 0,470 | 0,368 | 0,831 | 0,387 |
0,228 | 0,389 | 0,627 | 0,480 | 0,093 |
0,123 | 0,089 | 0,646 | 0,093 | 0,400 |
Dica: A fda de uma variável exponencial é dada por
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente verificar, com um nível de significância de 1%, se os dados fornecidos vêm de uma distribuição exponencial com parâmetro
. Para isso, vamos usar um teste de aderência, especificamente o teste do qui-quadrado, dividindo os dados em 4 intervalos. Vamos precisar entender como funciona a distribuição exponencial, calcular as frequências observadas e esperadas em cada intervalo, e depois aplicar a fórmula do qui-quadrado para ver se há uma diferença significativa.
Passo 2
Primeiro, vamos organizar os dados. Temos 20 observações:
0,378; 0,391; 0,458; 0,063; 0,009; 1,007; 0,470; 0,368; 0,831; 0,387; 0,228; 0,389; 0,627; 0,480; 0,093; 0,123; 0,089; 0,646; 0,093; 0,400.
Passo 3
Agora, precisamos definir os 4 intervalos para a distribuição exponencial com
. A distribuição exponencial é contínua e vai de 0 ao infinito, mas para facilitar, vamos calcular os pontos que dividem a área sob a curva em 4 partes iguais. Ou seja, cada intervalo terá uma probabilidade de 25%.
Usando a função inversa da CDF:
Para
,
,
, e
, temos:
-
, -
, -
, -
.
Então, nossos intervalos são:
-
, -
, -
, -
.
Passo 4
Vamos contar quantos dados caem em cada intervalo (frequência observada,
):
-
: 0,063; 0,009; 0,093; 0,123; 0,089; 0,093 → 6 valores. -
: 0,378; 0,391; 0,458; 1,007; 0,470; 0,368; 0,831; 0,387; 0,389; 0,627; 0,480; 0,400 → 12 valores. -
: — Não há dados nessa faixa → 0 valores. -
: — Não há dados nessa faixa → 0 valores.
Então:
-
, -
, -
, -
.
Passo 5
Agora, vamos calcular as frequências esperadas (
) para cada intervalo. Como usamos 4 intervalos com igual probabilidade, cada intervalo deveria ter 25% das 20 observações, ou seja:
Então:
-
, -
, -
, -
.
Passo 6
Vamos calcular o valor do teste do qui-quadrado usando a fórmula:
Calculando para cada intervalo:
-
, -
, -
, -
.
Somando tudo:
Passo 7
Agora, precisamos comparar o valor calculado do qui-quadrado com o valor crítico da distribuição qui-quadrado para 3 graus de liberdade (número de intervalos menos 1) e nível de significância de 1%.
Consultando a tabela de qui-quadrado, o valor crítico para
e 3 graus de liberdade é aproximadamente 11,345.
Passo 8
Como nosso valor calculado
é maior que o valor crítico
, rejeitamos a hipótese nula.
Resposta
Com um valor de
maior que o crítico de
, rejeitamos a hipótese de que os dados vêm de uma distribuição exponencial com
ao nível de significância de 1%.
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Discuta como a empresa pode usar essa análise para decidir se deve adotar o Método A ou o Método B como padrão de produção.
Ache a densidade de
; (10 pontos)