Teste, para o nível de significância de 1 %, se os dados abaixo provêm de uma distribuição exponencial, com lambda=0,5. (OBS: Usar 4 intervalos).
0,378 0,391 0,458 0,063 0,009
1,007 0,470 0,368 0,831 0,387
0,228 0,389 0,627 0,480 0,093
0,123 0,089 0,646 0,093 0,400
Dica: A fda de uma variável exponencial é dada por
F(x)=P(X <= x)=1-e^-lambda x, x >= 0.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente verificar, com um nível de significância de 1%, se os dados fornecidos vêm de uma distribuição exponencial com parâmetro lambda = 0,5. Para isso, vamos usar um teste de aderência, especificamente o teste do qui-quadrado, dividindo os dados em 4 intervalos. Vamos precisar entender como funciona a distribuição exponencial, calcular as frequências observadas e esperadas em cada intervalo, e depois aplicar a fórmula do qui-quadrado para ver se há uma diferença significativa.

Passo 2

Primeiro, vamos organizar os dados. Temos 20 observações:
0,378; 0,391; 0,458; 0,063; 0,009; 1,007; 0,470; 0,368; 0,831; 0,387; 0,228; 0,389; 0,627; 0,480; 0,093; 0,123; 0,089; 0,646; 0,093; 0,400.

Passo 3

Agora, precisamos definir os 4 intervalos para a distribuição exponencial com lambda = 0,5. A distribuição exponencial é contínua e vai de 0 ao infinito, mas para facilitar, vamos calcular os pontos que dividem a área sob a curva em 4 partes iguais. Ou seja, cada intervalo terá uma probabilidade de 25%.
Usando a função inversa da CDF:
F^-1(p) = -ln(1 - p)lambda.
Para p = 0,25, 0,50, 0,75, e 1,00, temos:
  • x1 = F^-1(0,25) = -ln(0,75)0,5 approx 0,2877,
  • x2 = F^-1(0,50) = -ln(0,5)0,5 approx 1,3863,
  • x3 = F^-1(0,75) = -ln(0,25)0,5 approx 2,7726,
  • x4 = F^-1(1,00) = infty.
Então, nossos intervalos são:
  1. 0 <= x < 0,2877,
  2. 0,2877 <= x < 1,3863,
  3. 1,3863 <= x < 2,7726,
  4. x >= 2,7726.

Passo 4

Vamos contar quantos dados caem em cada intervalo (frequência observada, Oi):
  1. 0 <= x < 0,2877: 0,063; 0,009; 0,093; 0,123; 0,089; 0,093 → 6 valores.
  2. 0,2877 <= x < 1,3863: 0,378; 0,391; 0,458; 1,007; 0,470; 0,368; 0,831; 0,387; 0,389; 0,627; 0,480; 0,400 → 12 valores.
  3. 1,3863 <= x < 2,7726: — Não há dados nessa faixa → 0 valores.
  4. x >= 2,7726: — Não há dados nessa faixa → 0 valores.
Então:
  • O1 = 6,
  • O2 = 12,
  • O3 = 0,
  • O4 = 0.

Passo 5

Agora, vamos calcular as frequências esperadas ( Ei) para cada intervalo. Como usamos 4 intervalos com igual probabilidade, cada intervalo deveria ter 25% das 20 observações, ou seja:
Ei = 20 times 0,25 = 5 para todos os intervalos.
Então:
  • E1 = 5,
  • E2 = 5,
  • E3 = 5,
  • E4 = 5.

Passo 6

Vamos calcular o valor do teste do qui-quadrado usando a fórmula:
chi^2 = sum (Oi - Ei)^2Ei.
Calculando para cada intervalo:
  1. (6 - 5)^25 = 15 = 0,2,
  2. (12 - 5)^25 = 495 = 9,8,
  3. (0 - 5)^25 = 255 = 5,
  4. (0 - 5)^25 = 255 = 5.
Somando tudo:
chi^2 = 0,2 + 9,8 + 5 + 5 = 20.

Passo 7

Agora, precisamos comparar o valor calculado do qui-quadrado com o valor crítico da distribuição qui-quadrado para 3 graus de liberdade (número de intervalos menos 1) e nível de significância de 1%.
Consultando a tabela de qui-quadrado, o valor crítico para alpha = 0,01 e 3 graus de liberdade é aproximadamente 11,345.

Passo 8

Como nosso valor calculado chi^2 = 20 é maior que o valor crítico 11,345, rejeitamos a hipótese nula.

Resposta

Com um valor de chi^2 = 20 maior que o crítico de 11,345, rejeitamos a hipótese de que os dados vêm de uma distribuição exponencial com lambda = 0,5 ao nível de significância de 1%.

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