Ache a solução geral da equação diferencial y’ = 2xy² e assinale a alternativa que a contenha:

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial que diz que a derivada de $ y $ em relação a $ x $ é igual a $ 2x y^2 $. O conteúdo aqui envolve equações diferenciais ordinárias, especificamente separáveis. Vamos precisar separar as variáveis e integrar para achar a solução geral.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação para separar $ y $ e $ x $. A equação dada é:
y
Podemos rearranjar para isolar os termos de $ y $ de um lado e $ x $ do outro:
x

Passo 3

Agora, vamos integrar ambos os lados. A integral de $ \frac{1}{y^2} dy $ é:
1y^2 dy
E a integral de $ 2x dx $ é:
integral 1y^2 dy = -1y + C

Passo 4

Igualando as integrais, temos:
-1y = x^2 + C
Aqui, $ C $ é a constante de integração que vai aparecer em ambos os lados.

Passo 5

Vamos resolver para $ y $ para encontrar a solução geral. Primeiro, multiplicamos ambos os lados por -1:
y
Podemos renomear a constante $ -C $ para $ C’ $ (que ainda é uma constante qualquer):
1y = -x^2 - C
Então, invertendo os dois lados:
-C

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
y = 1C - x^2

Exercícios relacionados