Ache a solução geral da equação diferencial y’ = 2xy² e assinale a alternativa que a contenha:
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial que diz que a derivada de $ y $ em relação a $ x $ é igual a $ 2x y^2 $. O conteúdo aqui envolve equações diferenciais ordinárias, especificamente separáveis. Vamos precisar separar as variáveis e integrar para achar a solução geral.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação para separar $ y $ e $ x $. A equação dada é:
Podemos rearranjar para isolar os termos de $ y $ de um lado e $ x $ do outro:
Passo 3
Agora, vamos integrar ambos os lados. A integral de $ \frac{1}{y^2} dy $ é:
E a integral de $ 2x dx $ é:
Passo 4
Igualando as integrais, temos:
Aqui, $ C $ é a constante de integração que vai aparecer em ambos os lados.
Passo 5
Vamos resolver para $ y $ para encontrar a solução geral. Primeiro, multiplicamos ambos os lados por -1:
Podemos renomear a constante $ -C $ para $ C’ $ (que ainda é uma constante qualquer):
Então, invertendo os dois lados:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é: