De três filmes que lançou, uma distribuidora pesquisou quais estavam agradando mais o público. Sabe-se que 32% do público gostou mais do filme X; 29%, do filme Y; 30% do filme Z; 17%, dos filmes X e Y; 13%, dos filmes Y e Z; 12%, dos filmes X e Z; 5%, dos três filmes.
a) Que porcentagem do público não gostou de nenhum dos três filmes?
b) Escolha dois desses filmes para manter em cartaz por mais tempo e justifique sua escolha. Para resolução desse problema, utilize a teoria de conjuntos.

Passo 1

Primeiro, vamos resumir o enunciado da questão. Temos três filmes lançados: X, Y e Z. A distribuidora pesquisou a preferência do público e nos forneceu as seguintes porcentagens:
  • 32% gostaram mais do filme X;
  • 29% gostaram mais do filme Y;
  • 30% gostaram mais do filme Z;
  • 17% gostaram dos filmes X e Y;
  • 13% gostaram dos filmes Y e Z;
  • 12% gostaram dos filmes X e Z;
  • 5% gostaram dos três filmes X, Y e Z.
Vamos utilizar a Teoria de Conjuntos, especificamente o princípio da inclusão-exclusão, para resolver o item a.

Passo 2

O objetivo é encontrar a porcentagem do público que não gostou de nenhum dos três filmes. Para isso, primeiro vamos calcular a porcentagem que gostou ao menos de um dos filmes.
O princípio da inclusão-exclusão para três conjuntos $ X $, $ Y $ e $ Z $ é dado por:
X
Onde:
  • $ |X| $ é a porcentagem que gostou do filme X,
  • $ |Y| $ é a porcentagem que gostou do filme Y,
  • $ |Z| $ é a porcentagem que gostou do filme Z,
  • $ |X \cap Y| $ é a porcentagem que gostou tanto de X quanto de Y,
  • $ |Y \cap Z| $ é a porcentagem que gostou tanto de Y quanto de Z,
  • $ |X \cap Z| $ é a porcentagem que gostou tanto de X quanto de Z,
  • $ |X \cap Y \cap Z| $ é a porcentagem que gostou dos três filmes.

Passo 3

Substituindo os valores fornecidos na fórmula:
|X cup Y cup Z| = 32% + 29% + 30% - 17% - 13% -12% +5%
Calculando passo a passo:
32 + 29 + 30 = 91
91 - 17 = 74
74 - 13 = 61
61 - 12 = 49
49 + 5 = 54
Portanto:
|X cup Y cup Z| = 54%

Passo 4

Isso significa que 54% do público gostou de pelo menos um dos três filmes.
Agora, para encontrar a porcentagem que não gostou de nenhum dos filmes, subtraímos esse valor de 100%:
100% - 54% = 46%

Resposta

46% do público não gostou de nenhum dos três filmes.

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