Ache a solução geral da equação diferencial y’ = -2xy² que atenda à condição inicial y(0)=5.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial juntos! O enunciado pede para encontrar a solução geral da equação $ y’ = -2x y^2 $ que satisfaça a condição inicial $ y(0) = 5 $. A matéria que vamos usar aqui é equações diferenciais ordinárias de primeira ordem, especificamente as equações separáveis. Para resolver, vamos precisar separar as variáveis $ y $ e $ x $ e integrar ambos os lados.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação diferencial de forma que todas as expressões com $ y $ fiquem de um lado e as com $ x $ do outro. A equação é:
y
Podemos separar as variáveis dividindo ambos os lados por $ y^2 $ e multiplicando por $ dx $:
x

Passo 3

Agora, vamos integrar ambos os lados da equação. A integração é a operação inversa da derivada, e nos ajuda a encontrar a função $ y(x) $. Vamos integrar:
y(x)
Do lado esquerdo, a integral de $ \frac{1}{y^2} dy $ é $ -\frac{1}{y} $. Do lado direito, a integral de $ -2x dx $ é $ -x^2 $. Portanto, temos:
integral 1y^2 dy = integral -2x dx

Passo 4

Agora, vamos resolver para $ y $. Primeiro, multiplicamos ambos os lados por $ -1 $:
y
Podemos chamar $ C $ de $ C’ $ (uma constante qualquer), então:
-1
Agora, invertendo ambos os lados para encontrar $ y $:
1y = x^2 - C

Passo 5

Até aqui temos a solução geral da equação diferencial:
y(x) = 1x^2 + C'
Agora, vamos aplicar a condição inicial $ y(0) = 5 $ para encontrar o valor da constante $ C’ $. Substituindo $ x = 0 $ e $ y = 5 $ na equação:
y(0) = 5
C'
Então, $ C’ = \frac{1}{5} $.

Resposta

A solução da equação diferencial é:
y(x) = 1x^2 + 15
Ou, simplificando:
y(x) = 55x^2 + 1

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