Ache a solução geral da equação diferencial y’ = -2xy² que atenda à condição inicial y(0)=5.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial juntos! O enunciado pede para encontrar a solução geral da equação $ y’ = -2x y^2 $ que satisfaça a condição inicial $ y(0) = 5 $. A matéria que vamos usar aqui é equações diferenciais ordinárias de primeira ordem, especificamente as equações separáveis. Para resolver, vamos precisar separar as variáveis $ y $ e $ x $ e integrar ambos os lados.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação diferencial de forma que todas as expressões com $ y $ fiquem de um lado e as com $ x $ do outro. A equação é:
Podemos separar as variáveis dividindo ambos os lados por $ y^2 $ e multiplicando por $ dx $:
Passo 3
Agora, vamos integrar ambos os lados da equação. A integração é a operação inversa da derivada, e nos ajuda a encontrar a função $ y(x) $. Vamos integrar:
Do lado esquerdo, a integral de $ \frac{1}{y^2} dy $ é $ -\frac{1}{y} $. Do lado direito, a integral de $ -2x dx $ é $ -x^2 $. Portanto, temos:
Passo 4
Agora, vamos resolver para $ y $. Primeiro, multiplicamos ambos os lados por $ -1 $:
Podemos chamar $ C $ de $ C’ $ (uma constante qualquer), então:
Agora, invertendo ambos os lados para encontrar $ y $:
Passo 5
Até aqui temos a solução geral da equação diferencial:
Agora, vamos aplicar a condição inicial $ y(0) = 5 $ para encontrar o valor da constante $ C’ $. Substituindo $ x = 0 $ e $ y = 5 $ na equação:
Então, $ C’ = \frac{1}{5} $.
Resposta
A solução da equação diferencial é:
Ou, simplificando: