Seja uma reta s definida por um ponto A com 1 subscrito parêntese esquerdo x com 1 subscrito vírgula y com 1 subscrito vírgula z com 1 subscrito parêntese direito e pelo vetor diretor v = (a,b,c). A distância do ponto P com 0 subscrito a reta s é dada por: d(P0, s) igual a |v × A1| / |v|. Baseado no texto, qual é a distância do ponto P0(2,0,7) a reta s: x sobre 2 igual a (y - 2) / 2 igual a (z + 3) / 1?

Passo 1

Vamos resumir o que a questão pede. Temos uma reta $ s $ definida por um ponto $ A_1(x_1, y_1, z_1) $ e um vetor diretor $ \vec{v} = (a, b, c) $. A fórmula para calcular a distância de um ponto $ P_0 $ até essa reta é:
s
Vamos usar essa fórmula para encontrar a distância do ponto $ P_0(2, 0, 7) $ até a reta $ s $ dada pela equação:
A1(x1, y1, z1)

Passo 2

Primeiro, vamos identificar o ponto $ A_1 $ e o vetor diretor $ \vec{v} $ da reta $ s $. A equação da reta está na forma paramétrica:
A1
Isso significa que a reta passa pelo ponto $ A_1(0, 2, -3) $ e tem o vetor diretor $ \vec{v} = (2, 2, 1) $.

Passo 3

Vamos escrever o vetor posição de $ A_1 $:
A1

Passo 4

Agora, vamos calcular o produto vetorial $ \vec{v} \times \vec{A}_1 $:
v times A1
Calculando o determinante:
v times A1 = i & j & k 2 & 2 & 1 0 & 2 & -3
v times A1 = i(2 cdot (-3) - 1 cdot 2) - j(2 cdot (-3) - 1 cdot 0) + k(2 cdot 2 - 2 cdot 0)
= i(-6 - 2) - j(-6 - 0) + k(4 - 0)
Então:
= -8i + 6j + 4k

Passo 5

Vamos calcular o módulo desse vetor:
|v times A1| = raiz(-8)^2 + 6^2 + 4^2 = raiz64 + 36 + 16 = raiz116 = 2raiz29

Passo 6

Também precisamos do módulo do vetor diretor $ \vec{v} $:
v

Passo 7

Agora, aplicamos a fórmula da distância:
d(P0, s) = |v times A1||v| = 2raiz293

Resposta

A distância do ponto $ P_0(2, 0, 7) $ até a reta $ s $ é $ \frac{2\sqrt{29}}{3} $ unidades.

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