Seja uma reta s definida por um ponto A com 1 subscrito parêntese esquerdo x com 1 subscrito vírgula y com 1 subscrito vírgula z com 1 subscrito parêntese direito e pelo vetor diretor v = (a,b,c). A distância do ponto P com 0 subscrito a reta s é dada por: d(P0, s) igual a |v × A1| / |v|. Baseado no texto, qual é a distância do ponto P0(2,0,7) a reta s: x sobre 2 igual a (y - 2) / 2 igual a (z + 3) / 1?
Passo 1
Vamos resumir o que a questão pede. Temos uma reta $ s $ definida por um ponto $ A_1(x_1, y_1, z_1) $ e um vetor diretor $ \vec{v} = (a, b, c) $. A fórmula para calcular a distância de um ponto $ P_0 $ até essa reta é:
Vamos usar essa fórmula para encontrar a distância do ponto $ P_0(2, 0, 7) $ até a reta $ s $ dada pela equação:
Passo 2
Primeiro, vamos identificar o ponto $ A_1 $ e o vetor diretor $ \vec{v} $ da reta $ s $. A equação da reta está na forma paramétrica:
Isso significa que a reta passa pelo ponto $ A_1(0, 2, -3) $ e tem o vetor diretor $ \vec{v} = (2, 2, 1) $.
Passo 3
Vamos escrever o vetor posição de $ A_1 $:
Passo 4
Agora, vamos calcular o produto vetorial $ \vec{v} \times \vec{A}_1 $:
Calculando o determinante:
Então:
Passo 5
Vamos calcular o módulo desse vetor:
Passo 6
Também precisamos do módulo do vetor diretor $ \vec{v} $:
Passo 7
Agora, aplicamos a fórmula da distância:
Resposta
A distância do ponto $ P_0(2, 0, 7) $ até a reta $ s $ é $ \frac{2\sqrt{29}}{3} $ unidades.