Ache a solução geral mostrando os passos utilizados na derivação. Cheque por substituição se a solução é correta. Use a técnica de EDO Separável.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial juntos! O enunciado é para achar a solução geral da EDO (Equação Diferencial Ordinária) dada por:
Vamos usar a técnica de EDO Separável, que é útil quando conseguimos separar as variáveis
e
em lados opostos da equação. Isso significa que vamos reorganizar a equação de forma que todos os termos com
fiquem de um lado e os termos com
fiquem do outro.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a derivada
como
:
Agora, queremos separar as variáveis. Para isso, dividimos ambos os lados por
e multiplicamos ambos os lados por
:
Lembre-se que
, então podemos simplificar a fração:
Agora, as variáveis estão separadas: tudo com
está de um lado e tudo com
do outro.
Passo 3
Agora, vamos integrar ambos os lados da equação para encontrar a solução geral.
Integrando o lado esquerdo com relação a
:
E integrando o lado direito com relação a
:
Vamos calcular cada integral.
Passo 4
Começando pela integral do lado esquerdo:
Aqui, usamos a substituição
, então
ou
:
Voltando para
:
Agora, a integral do lado direito:
Passo 5
Juntando as duas integrais:
Podemos simplificar multiplicando ambos os lados por 2:
Onde
é simplesmente outra constante de integração.
Passo 6
Agora, queremos isolar
para obter a solução explícita. Para isso, aplicamos o arco seno (função inversa do seno) nos dois lados:
Dividindo ambos os lados por 2:
Podemos renomear a constante
para simplesmente
, já que é uma constante arbitrária.
Passo 7
Por fim, a solução geral da equação diferencial é:
Resposta
A soluç��o geral da equação diferencial
é:
Onde
é a constante de integração.
Exercícios relacionados
Usando integral tripla, calcule o volume do sólido limitado pelo cilindro
(parte interna) e por:
(2.2) cone
(2.2) cone
Determine se a série
converge ou diverge. Justifique sua resposta.
Determine se a série
converge ou diverge. Justifique sua resposta.
Ache a solução geral mostrando os passos utilizados na derivação. Cheque por substituição se a solução é correta. Use a técnica de EDO Separável.