Ache a solução geral mostrando os passos utilizados na derivação. Cheque por substituição se a solução é correta. Use a técnica de EDO Separável.
y' = 2 sec(2y)

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial juntos! O enunciado é para achar a solução geral da EDO (Equação Diferencial Ordinária) dada por:
Vamos usar a técnica de EDO Separável, que é útil quando conseguimos separar as variáveis e em lados opostos da equação. Isso significa que vamos reorganizar a equação de forma que todos os termos com fiquem de um lado e os termos com fiquem do outro.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a derivada como :
Agora, queremos separar as variáveis. Para isso, dividimos ambos os lados por e multiplicamos ambos os lados por :
Lembre-se que , então podemos simplificar a fração:
Agora, as variáveis estão separadas: tudo com está de um lado e tudo com do outro.

Passo 3

Agora, vamos integrar ambos os lados da equação para encontrar a solução geral.
Integrando o lado esquerdo com relação a :
E integrando o lado direito com relação a :
Vamos calcular cada integral.

Passo 4

Começando pela integral do lado esquerdo:
Aqui, usamos a substituição , então ou :
Voltando para :
Agora, a integral do lado direito:

Passo 5

Juntando as duas integrais:
Podemos simplificar multiplicando ambos os lados por 2:
Onde é simplesmente outra constante de integração.

Passo 6

Agora, queremos isolar para obter a solução explícita. Para isso, aplicamos o arco seno (função inversa do seno) nos dois lados:
Dividindo ambos os lados por 2:
Podemos renomear a constante para simplesmente , já que é uma constante arbitrária.

Passo 7

Por fim, a solução geral da equação diferencial é:

Resposta

A soluç��o geral da equação diferencial é:
Onde é a constante de integração.

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Usando integral tripla, calcule o volume do sólido limitado pelo cilindro x^2 + y^2 = 2 x (parte interna) e por:
(2.2) cone z^2 = x^2 + y^2
Determine se a série sumn=1^infty 1(ln 3)^n converge ou diverge. Justifique sua resposta.
Determine se a série sumn=1^infty 21+e^n converge ou diverge. Justifique sua resposta.
Ache a solução geral mostrando os passos utilizados na derivação. Cheque por substituição se a solução é correta. Use a técnica de EDO Separável.
x y' = 1/2 y^2 + y