Determine se a série
converge ou diverge. Justifique sua resposta.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o enunciado. Temos a série infinita
. Nosso objetivo é determinar se essa série converge ou diverge. Para isso, vamos utilizar o conceito de série geométrica.
Passo 2
Uma série geométrica é uma série da forma
, onde
é a razão comum entre os termos consecutivos. A principal característica de uma série geométrica é que cada termo é obtido multiplicando o termo anterior por uma constante
.
Passo 3
Para verificar a convergência de uma série geométrica, observamos o valor de
:
- Se
, a série converge. - Se
, a série diverge.
Passo 4
Vamos identificar o valor de
na nossa série:
Calculando o valor numérico:
Passo 5
Agora, verificamos se
:
Como o valor absoluto de
é menor que 1, de acordo com o critério da série geométrica, a série converge.
Resposta
A série
converge.
Exercícios relacionados
b. Qual deveria ser
para que a soma parcial
Teste se as EDOs são exatas. Em caso negativo, use os fatores integrantes fornecidos ou ache por inspeção, ou utilize os teoremas estudados. Adicionalmente, encontre a solução da EDO e se uma condição inicial for dada, determine a solução particular.
Usando integral tripla, calcule o volume do sólido limitado pelo cilindro
(parte interna) e por:
(2.2) cone
(2.2) cone
Ache a solução geral mostrando os passos utilizados na derivação. Cheque por substituição se a solução é correta. Use a técnica de EDO Separável.