Determine se a série
converge ou diverge. Justifique sua resposta.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa descobrir se a série
converge ou diverge. Para isso, vamos usar alguns conceitos de séries infinitas e testes de convergência, como o Teste da Comparação.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa uma série convergir ou divergir. Uma série converge se a soma dos seus termos se aproxima de um número finito conforme adicionamos mais termos. Caso contrário, ela diverge.
Passo 3
Agora, vamos analisar o termo geral da série:
. Notamos que, conforme
aumenta,
cresce muito rápido, então
é praticamente igual a
para valores grandes de
. Então, podemos simplificar o termo geral para aproximadamente
.
Passo 4
Sabemos que a série
é uma série geométrica com razão
. Como
, temos
, o que significa que essa série geométrica converge.
Passo 5
Vamos usar o Teste da Comparação. Se nosso termo
for menor ou igual a um termo de uma série que sabemos que converge, então a nossa série também converge. Como
, e a série
é uma constante múltiplo de uma série geométrica convergente, concluímos que nossa série original também converge.
Resposta
A série
converge.
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