Determine se a série sumn=1^infty 21+e^n converge ou diverge. Justifique sua resposta.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa descobrir se a série sumn=1^infty 21+e^n converge ou diverge. Para isso, vamos usar alguns conceitos de séries infinitas e testes de convergência, como o Teste da Comparação.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa uma série convergir ou divergir. Uma série converge se a soma dos seus termos se aproxima de um número finito conforme adicionamos mais termos. Caso contrário, ela diverge.

Passo 3

Agora, vamos analisar o termo geral da série: 21+e^n. Notamos que, conforme n aumenta, e^n cresce muito rápido, então 1 + e^n é praticamente igual a e^n para valores grandes de n. Então, podemos simplificar o termo geral para aproximadamente 2e^n.

Passo 4

Sabemos que a série sumn=1^infty 1e^n é uma série geométrica com razão r = 1e. Como e approx 2.718, temos r < 1, o que significa que essa série geométrica converge.

Passo 5

Vamos usar o Teste da Comparação. Se nosso termo 21+e^n for menor ou igual a um termo de uma série que sabemos que converge, então a nossa série também converge. Como 21+e^n <= 2e^n, e a série sumn=1^infty 2e^n é uma constante múltiplo de uma série geométrica convergente, concluímos que nossa série original também converge.

Resposta

A série sumn=1^infty 21+e^n converge.

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