Ache u tal que |u|=raiz2, a medida em graus do ângulo entre u e (1,-1,0) seja 45^circ, e u perp(1,1,0).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos pede para encontrar um vetor que atende a três condições:
  1. O comprimento de é .
  2. O ângulo entre e o vetor é de .
  3. O vetor é perpendicular a .
Para resolver isso, vamos precisar de conhecimentos sobre norma de vetores, produto escalar e propriedades de vetores ortogonais. Vamos passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa que u cdot (1,1,0) = 0 é perpendicular a 1 cdot u1 + 1 cdot u2 + 0 cdot u3 = 0 u1 + u2 = 0 u2 = -u1 . Dois vetores são perpendiculares se o produto escalar entre eles é zero. Então, temos:
Se , isso se traduz em:
Então, já sabemos que . Vamos usar isso nos próximos passos.

Passo 3

Agora, vamos usar a condição do comprimento do vetor |u| = raizu1^2 + u2^2 + u3^2 = raiz2 . A norma de u1^2 + u2^2 + u3^2 = 2 é u1^2 + (-u1)^2 + u3^2 = 2 u1^2 + u1^2 + u3^2 = 2 2u1^2 + u3^2 = 2 , então:
Elevando ambos os lados ao quadrado:
Como já sabemos que , substituímos:
Podemos simplificar essa equação mais tarde. Vamos para a próxima condição.

Passo 4

A próxima condição envolve o ângulo entre u cdot (1,-1,0) = |u| cdot |(1,-1,0)| cdot cos(theta) e |(1,-1,0)| = raiz1^2 + (-1)^2 + 0^2 = raiz1 + 1 = raiz2 . A fórmula do produto escalar também relaciona o ângulo entre dois vetores:
u cdot (1,-1,0) = raiz2 cdot raiz2 cdot cos(45^circ) u cdot (1,-1,0) = 2 cdot raiz22 = raiz2
Sabemos que u cdot (1,-1,0) = u1 cdot 1 + u2 cdot (-1) + u3 cdot 0 = u1 - u2 e u1 - u2 = raiz2 . Vamos calcular u1 - (-u1) = raiz2 2u1 = raiz2 u1 = raiz22 :
u2 = -u1 = -raiz22
Então, substituindo na fórmula:
Mas também podemos expressar o produto escalar diretamente:
Igualando as duas expressões:
Mas lembramos que , então:
E, portanto:

Passo 5

Agora que temos 2u1^2 + u3^2 = 2 e 2 ( raiz22 )^2 + u3^2 = 2 2 ( 24 ) + u3^2 = 2 2 ( 12 ) + u3^2 = 2 1 + u3^2 = 2 u3^2 = 1 u3 = pm 1 , vamos voltar à equação que obtivemos no Passo 3 para encontrar :
Substituindo :

Resposta

Portanto, os vetores u = ( raiz22, -raiz22, 1 ) ou u = ( raiz22, -raiz22, -1 ) que satisfazem as condições são:

Exercícios relacionados