Ache tal que , a medida em graus do ângulo entre e seja , e .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos pede para encontrar um vetor que atende a três condições:
  1. O comprimento de é .
  2. O ângulo entre e o vetor é de .
  3. O vetor é perpendicular a .
Para resolver isso, vamos precisar de conhecimentos sobre norma de vetores, produto escalar e propriedades de vetores ortogonais. Vamos passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa que é perpendicular a . Dois vetores são perpendiculares se o produto escalar entre eles é zero. Então, temos:
Se , isso se traduz em:
Então, já sabemos que . Vamos usar isso nos próximos passos.

Passo 3

Agora, vamos usar a condição do comprimento do vetor . A norma de é , então:
Elevando ambos os lados ao quadrado:
Como já sabemos que , substituímos:
Podemos simplificar essa equação mais tarde. Vamos para a próxima condição.

Passo 4

A próxima condição envolve o ângulo entre e . A fórmula do produto escalar também relaciona o ângulo entre dois vetores:
Sabemos que e . Vamos calcular :
Então, substituindo na fórmula:
Mas também podemos expressar o produto escalar diretamente:
Igualando as duas expressões:
Mas lembramos que , então:
E, portanto:

Passo 5

Agora que temos e , vamos voltar à equação que obtivemos no Passo 3 para encontrar :
Substituindo :

Resposta

Portanto, os vetores que satisfazem as condições são:

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$$
T=2 \pi \sqrt{\frac{4 \pi \varepsilon_{0} m_{e} R^{3}}{q Q}}$$
onde