Ache
tal que
, a medida em graus do ângulo entre
e
seja
, e
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos pede para encontrar um vetor
que atende a três condições:
- O comprimento de
é . - O ângulo entre
e o vetor é de . - O vetor
é perpendicular a .
Para resolver isso, vamos precisar de conhecimentos sobre norma de vetores, produto escalar e propriedades de vetores ortogonais. Vamos passo a passo!
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa que
é perpendicular a
. Dois vetores são perpendiculares se o produto escalar entre eles é zero. Então, temos:
Se
, isso se traduz em:
Então, já sabemos que
. Vamos usar isso nos próximos passos.
Passo 3
Agora, vamos usar a condição do comprimento do vetor
. A norma de
é
, então:
Elevando ambos os lados ao quadrado:
Como já sabemos que
, substituímos:
Podemos simplificar essa equação mais tarde. Vamos para a próxima condição.
Passo 4
A próxima condição envolve o ângulo entre
e
. A fórmula do produto escalar também relaciona o ângulo entre dois vetores:
Sabemos que
e
. Vamos calcular
:
Então, substituindo na fórmula:
Mas também podemos expressar o produto escalar diretamente:
Igualando as duas expressões:
Mas lembramos que
, então:
E, portanto:
Passo 5
Agora que temos
e
, vamos voltar à equação que obtivemos no Passo 3 para encontrar
:
Substituindo
:
Resposta
Portanto, os vetores
que satisfazem as condições são: