Um fio circular metálico de raio R e carga Q distribuída de modo uniforme, ao colocarmos uma elétron de carga q a uma distância z do eixo que passa pelo seu centro, com z<. Mostre que o período para pequenas oscilações do elétron é dada por:
$$
T=2 \pi \sqrt{\frac{4 \pi \varepsilon_{0} m_{e} R^{3}}{q Q}}$$
onde T=2 pi raiz4 pi varepsilon0 me R^3q Q

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o problema está nos pedindo. Temos um fio circular metálico com raio e carga total distribuída de forma uniforme. Colocamos um elétron de carga a uma distância do eixo central do fio, onde é muito menor que (ou seja, ). Queremos encontrar o período das pequenas oscilações desse elétron. Para resolver isso, vamos precisar dos conceitos de campo elétrico, força elétrica e movimento harmônico simples.

Passo 2

Vamos começar calculando o campo elétrico gerado pelo fio circular no ponto onde está o elétron. Como a carga está distribuída uniformemente, usamos a expressão para o campo elétrico de um anel de carga. Para , podemos simplificar a expressão usando uma aproximação em série de Taylor, mantendo apenas os termos de menor ordem em .

Passo 3

O campo elétrico E(z) = 14 pi varepsilon0 cdot Q z(z^2 + R^2)^3/2 no eixo de um anel de carga é dado por:
E(z) approx 14 pi varepsilon0 cdot Q zR^3
Como , podemos aproximar . Assim, o campo elétrico simplifica para:

Passo 4

A força elétrica F(z) approx q cdot 14 pi varepsilon0 cdot Q zR^3 = q Q4 pi varepsilon0 R^3 z que atua sobre o elétron é dada por . Substituindo o campo elétrico que encontramos:

Passo 5

Observamos que a força resultante é proporcional ao deslocamento e atua na direção oposta, caracterizando um movimento harmônico simples (MHS). A equação do MHS é , onde é a constante elástica equivalente.

Passo 6

Comparando as expressões, temos:
k = q Q4 pi varepsilon0 R^3
No MHS, o período T = 2 pi raizmk é dado por:
onde é a massa do elétron.

Passo 7

Substituindo T = 2 pi raizmeq Q4 pi varepsilon0 R^3 = 2 pi raiz4 pi varepsilon0 me R^3q Q na fórmula do período:

Resposta

Portanto, o período das pequenas oscilações do elétron é:
T = 2 pi raiz4 pi varepsilon0 me R^3q Q

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