Um fio circular metálico de raio
e carga
distribuída de modo uniforme, ao colocarmos uma elétron de carga
a uma distância
do eixo que passa pelo seu centro, com
. Mostre que o período para pequenas oscilações do elétron é dada por:
$$
T=2 \pi \sqrt{\frac{4 \pi \varepsilon_{0} m_{e} R^{3}}{q Q}}$$
onde
onde
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o problema está nos pedindo. Temos um fio circular metálico com raio
e carga total
distribuída de forma uniforme. Colocamos um elétron de carga
a uma distância
do eixo central do fio, onde
é muito menor que
(ou seja,
). Queremos encontrar o período
das pequenas oscilações desse elétron. Para resolver isso, vamos precisar dos conceitos de campo elétrico, força elétrica e movimento harmônico simples.
Passo 2
Vamos começar calculando o campo elétrico gerado pelo fio circular no ponto onde está o elétron. Como a carga está distribuída uniformemente, usamos a expressão para o campo elétrico de um anel de carga. Para
, podemos simplificar a expressão usando uma aproximação em série de Taylor, mantendo apenas os termos de menor ordem em
.
Passo 3
O campo elétrico
no eixo de um anel de carga é dado por:
Como
, podemos aproximar
. Assim, o campo elétrico simplifica para:
Passo 4
A força elétrica
que atua sobre o elétron é dada por
. Substituindo o campo elétrico que encontramos:
Passo 5
Observamos que a força resultante é proporcional ao deslocamento
e atua na direção oposta, caracterizando um movimento harmônico simples (MHS). A equação do MHS é
, onde
é a constante elástica equivalente.
Passo 6
Comparando as expressões, temos:
No MHS, o período
é dado por:
onde
é a massa do elétron.
Passo 7
Substituindo
na fórmula do período:
Resposta
Portanto, o período das pequenas oscilações do elétron é:
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Explique por que as energias potencial e a energia cinética de um sistema mola-bloco nunca podem ser negativas.
Ache
tal que
, a medida em graus do ângulo entre
e
seja
, e
.
Calcule o valor de
para que o volume do paralelepípedo determinado pelos vetores
e
seja igual a 33 e calcule a altura desse paralelepípedo em relação à base definida por
e
.
Dados os vetores
e
, calcule a área do paralelogramo determinado por
e