Ache o vetor mais geral cuja derivada é a função dada.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrar o vetor mais geral cuja derivada é a função dada:
Isso envolve cálculo diferencial, especificamente o processo de integração, já que queremos achar a função original cuja derivada nos dá esse vetor.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a derivada de uma função vetorial é a derivada de cada uma das suas componentes. Para encontrar o vetor original, vamos fazer o caminho inverso: integrar cada componente do vetor dado.
Passo 3
Vamos começar integrando a primeira componente:
. A integral de
em relação a
é
, onde
é uma constante positiva diferente de 1.
Então,
Aqui,
é uma constante de integração.
Passo 4
Agora, vamos integrar a segunda componente:
. Usando a mesma regra de integração para exponenciais:
Onde
é outra constante de integração.
Passo 5
Juntando as duas componentes integradas, obtemos o vetor mais geral cuja derivada é a função dada:
Resposta
O vetor mais geral cuja derivada é
é:
Onde
e
são constantes de integração.
Exercícios relacionados
Ache
e
.
Encontre uma equação em coordenadas cartesianas da superfície cuja equação é dada em coordenadas esféricas.
Se
for a medida em radianos do ângulo entre
e
, ache
.
Ache o comprimento do arco dado.