Se alpha(t) for a medida em radianos do ângulo entre R(t) e Q(t), ache alpha'(t).
R(t) = 2t i + (t^2 - 1) j e Q(t) = 3t i

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão nos pede para encontrar a derivada do ângulo alpha(t) entre os vetores R(t) e Q(t). Estamos trabalhando com cálculo vetorial, e vamos precisar usar conceitos como produto escalar e derivadas de funções vetoriais.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o cosseno do ângulo entre dois vetores é dado pela fórmula:
Aqui, “ \cdot” representa o produto escalar, e e são as normas (ou comprimentos) dos vetores R(t) e Q(t), respectivamente.

Passo 3

Vamos calcular o produto escalar . Dado que:
O produto escalar é:
Porque o componente vec(j) de Q(t) é zero.

Passo 4

Agora, vamos encontrar as normas dos vetores:

Passo 5

Simplificando a norma de R(t):
Porque é sempre positivo.

Passo 6

Agora podemos escrever o cosseno do ângulo:

Passo 7

Para encontrar , vamos derivar ambos os lados em relação a t. Sabemos que:
Então, temos:

Passo 8

Calculando a derivada do lado direito usando a regra do quociente:

Passo 9

Isolando :

Passo 10

Agora, precisamos encontrar . Sabemos que:
Então:
Como estamos buscando a derivada, assumimos que , então podemos simplificar para:

Passo 11

Substituindo na expressão de :

Resposta

Então, a derivada do ângulo alpha(t) é:

Exercícios relacionados

Ache o vetor mais geral cuja derivada é a função dada.
3^t * i - 2^t * j
Ache R'(t), R''(t) e ||R'(t)||.
R(t) = raiz(2t + 1) * i + (t - 1)^2 * j
Ache o comprimento do arco dado.
r = a theta^2, 0 <= theta <= pi
Ache a curvatura e o raio de curvatura no ponto dado.
a) R(t) = t^2 * i + (2*t + 1) * j, t = 1