Se
for a medida em radianos do ângulo entre
e
, ache
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão nos pede para encontrar a derivada do ângulo
entre os vetores
e
. Estamos trabalhando com cálculo vetorial, e vamos precisar usar conceitos como produto escalar e derivadas de funções vetoriais.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que o cosseno do ângulo entre dois vetores é dado pela fórmula:
Aqui, “
” representa o produto escalar, e
e
são as normas (ou comprimentos) dos vetores
e
, respectivamente.
Passo 3
Vamos calcular o produto escalar
. Dado que:
O produto escalar é:
Porque o componente
de
é zero.
Passo 4
Agora, vamos encontrar as normas dos vetores:
Passo 5
Simplificando a norma de
:
Porque
é sempre positivo.
Passo 6
Agora podemos escrever o cosseno do ângulo:
Passo 7
Para encontrar
, vamos derivar ambos os lados em relação a
. Sabemos que:
Então, temos:
Passo 8
Calculando a derivada do lado direito usando a regra do quociente:
Passo 9
Isolando
:
Passo 10
Agora, precisamos encontrar
. Sabemos que:
Então:
Como estamos buscando a derivada, assumimos que
, então podemos simplificar para:
Passo 11
Substituindo
na expressão de
:
Resposta
Então, a derivada do ângulo
é:
Exercícios relacionados
Ache o vetor mais geral cuja derivada é a função dada.
Ache
e
.
Ache o comprimento do arco dado.
Ache a curvatura e o raio de curvatura no ponto dado.
a)
a)