O que acontece com a mediana, a média e o desvio padrão de uma série de dados quando:
© subtrai-se a média geral barX de cada observação?

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma pergunta sobre o que acontece com três medidas estatísticas—mediana, média e desvio padrão—quando a média geral barX é subtraída de cada observação de uma série de dados. Ou seja, estamos trabalhando com estatística descritiva e queremos entender como essas medidas mudam quando alteramos os dados dessa maneira.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que cada uma dessas medidas representa:
  • Média ( barX): É a soma de todos os valores dividida pelo número de observações.
  • Mediana: É o valor que está no meio da série de dados quando ela é ordenada.
  • Desvio Padrão ( sigma): Mede a dispersão dos dados em relação à média.

Passo 3

Agora, vamos ver o que acontece quando subtraímos a média de cada observação. Seja a série de dados original X = x1, x2, , xn com média barX. Após a subtração, a nova série de dados fica Y = y1, y2, , yn onde cada yi = xi - barX.

Passo 4

Impacto na Média:
Calculando a nova média barY:
barY = 1n sumi=1^n yi = 1n sumi=1^n (xi - barX) = 1n ( sumi=1^n xi - sumi=1^n barX ) = 1n (nbarX - nbarX) = 0
Então, a nova média barY é 0.

Passo 5

Impacto na Mediana:
A mediana depende da posição central dos dados. Quando subtraímos barX de cada observação, todos os valores da série são deslocados igualmente. Assim, a mediana também é deslocada pelo mesmo valor:
Mediana(Y) = Mediana(X) - barX
Então, a nova mediana é a mediana original menos a média barX.

Passo 6

Impacto no Desvio Padrão:
O desvio padrão mede a dispersão dos dados em torno da média. Quando subtraímos a média de cada observação, estamos apenas centralizando os dados em torno de zero, mas a dispersão entre eles permanece a mesma. Matemáticamente:
sigmaY = raiz1n sumi=1^n (yi - barY)^2 = raiz1n sumi=1^n (yi)^2 = sigmaX
Portanto, o desvio padrão não muda.

Resposta

Quando subtraímos a média barX de cada observação de uma série de dados:
  • Média passa a ser 0.
  • Mediana diminui em barX.
  • Desvio Padrão permanece o mesmo.

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