O peso de recém-nascidos de uma amostra pode ser modelado por uma distribuição Normal, com uma média de 3000 gramas e um desvio-padrão de 100 gramas. Para um recém-nascido escolhido ao acaso na amostra:
(a) Qual a probabilidade do peso ser menor que 3250 g. ?
(b) Qual a probabilidade do peso estar entre 2800 g . e 2900 g. ?
© Que peso é excedido por 95 % dos itens amostrais?

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos um exercício que lida com a distribuição Normal, que é uma das distribuições mais comuns na estatística. Aqui, o peso dos recém-nascidos segue uma distribuição Normal com média de 3000 gramas e desvio-padrão de 100 gramas. Vamos usar esses dados para responder às três perguntas do exercício.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa distribuição Normal. Ela é uma curva em forma de sino onde a média é o ponto central, e o desvio-padrão indica o quanto os dados estão espalhados em torno da média. Para calcular probabilidades, geralmente padronizamos os valores usando o z-score.

Passo 3

Para calcular o z-score, usamos a fórmula:
z = X - musigma
Onde:
  • é o valor que queremos encontrar a probabilidade.
  • é a média (3000 g).
  • é o desvio-padrão (100 g).

Passo 4

Vamos resolver a letra (a): “Qual a probabilidade do peso ser menor que 3250 g?”.
Primeiro, calculamos o z-score para 3250 g:
z = 3250 - 3000100 = 250100 = 2,5

Passo 5

Agora, precisamos encontrar a probabilidade correspondente a na tabela da distribuição Normal padrão ou usando uma calculadora. O valor de é aproximadamente 0,9938.

Passo 6

Isso significa que a probabilidade de um recém-nascido pesar menos que 3250 g é de aproximadamente 99,38%.

Passo 7

Vamos para a letra (b): “Qual a probabilidade do peso estar entre 2800 g e 2900 g?”.
Primeiro, calculamos os z-scores para 2800 g e 2900 g.
Para 2800 g:
z = 2800 - 3000100 = -200100 = -2
Para 2900 g:
z = 2900 - 3000100 = -100100 = -1

Passo 8

Agora, encontramos as probabilidades correspondentes:
  • P(-2 < Z < -1) = P(Z < -1) - P(Z < -2) = 0,1587 - 0,0228 = 0,1359 ≈ 0,0228
  • ≈ 0,1587
Para encontrar a probabilidade entre 2800 g e 2900 g, subtraímos:

Passo 9

Então, a probabilidade do peso estar entre 2800 g e 2900 g é de aproximadamente 13,59%.

Passo 10

Agora, a letra ©: “Que peso é excedido por 95% dos itens amostrais?”.
Isso significa que queremos encontrar o peso tal que . Isso é equivalente a encontrar o valor onde , ou seja, o 5º percentil.

Passo 11

Primeiro, encontramos o z-score correspondente a . Consultando a tabela da distribuição Normal, vemos que .

Passo 12

Agora, usamos a fórmula do z-score para encontrar X0 = mu + z cdot sigma :
X0 = 3000 + (-1,645) cdot 100
X0 = 3000 - 164,5 = 2835,5

Resposta

(a) A probabilidade do peso ser menor que 3250 g é de aproximadamente 99,38%.
(b) A probabilidade do peso estar entre 2800 g e 2900 g é de aproximadamente 13,59%.
© O peso excedido por 95 % dos itens amostrais é 2835,5 gramas.

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