O peso de recém-nascidos de uma amostra pode ser modelado por uma distribuição Normal, com uma média de 3000 gramas e um desvio-padrão de 100 gramas. Para um recém-nascido escolhido ao acaso na amostra:
(a) Qual a probabilidade do peso ser menor que 3250 g. ?
(b) Qual a probabilidade do peso estar entre 2800 g . e 2900 g. ?
© Que peso é excedido por
dos itens amostrais?
(a) Qual a probabilidade do peso ser menor que 3250 g. ?
(b) Qual a probabilidade do peso estar entre 2800 g . e 2900 g. ?
© Que peso é excedido por
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos um exercício que lida com a distribuição Normal, que é uma das distribuições mais comuns na estatística. Aqui, o peso dos recém-nascidos segue uma distribuição Normal com média de 3000 gramas e desvio-padrão de 100 gramas. Vamos usar esses dados para responder às três perguntas do exercício.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa distribuição Normal. Ela é uma curva em forma de sino onde a média é o ponto central, e o desvio-padrão indica o quanto os dados estão espalhados em torno da média. Para calcular probabilidades, geralmente padronizamos os valores usando o z-score.
Passo 3
Para calcular o z-score, usamos a fórmula:
Onde:
-
é o valor que queremos encontrar a probabilidade. -
é a média (3000 g). -
é o desvio-padrão (100 g).
Passo 4
Vamos resolver a letra (a): “Qual a probabilidade do peso ser menor que 3250 g?”.
Primeiro, calculamos o z-score para 3250 g:
Passo 5
Agora, precisamos encontrar a probabilidade correspondente a
na tabela da distribuição Normal padrão ou usando uma calculadora. O valor de
é aproximadamente 0,9938.
Passo 6
Isso significa que a probabilidade de um recém-nascido pesar menos que 3250 g é de aproximadamente 99,38%.
Passo 7
Vamos para a letra (b): “Qual a probabilidade do peso estar entre 2800 g e 2900 g?”.
Primeiro, calculamos os z-scores para 2800 g e 2900 g.
Para 2800 g:
Para 2900 g:
Passo 8
Agora, encontramos as probabilidades correspondentes:
-
≈ 0,0228 -
≈ 0,1587
Para encontrar a probabilidade entre 2800 g e 2900 g, subtraímos:
Passo 9
Então, a probabilidade do peso estar entre 2800 g e 2900 g é de aproximadamente 13,59%.
Passo 10
Agora, a letra ©: “Que peso é excedido por 95% dos itens amostrais?”.
Isso significa que queremos encontrar o peso
tal que
. Isso é equivalente a encontrar o valor onde
, ou seja, o 5º percentil.
Passo 11
Primeiro, encontramos o z-score correspondente a
. Consultando a tabela da distribuição Normal, vemos que
.
Passo 12
Agora, usamos a fórmula do z-score para encontrar
:
Resposta
(a) A probabilidade do peso ser menor que 3250 g é de aproximadamente 99,38%.
(b) A probabilidade do peso estar entre 2800 g e 2900 g é de aproximadamente 13,59%.
© O peso excedido por 95 % dos itens amostrais é 2835,5 gramas.
(b) A probabilidade do peso estar entre 2800 g e 2900 g é de aproximadamente 13,59%.
© O peso excedido por 95 % dos itens amostrais é 2835,5 gramas.
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