O raio r de uma circunferência, cresce à razão de
. Qual a taxa de crescimento do comprimento C, dessa circunferência, em relação ao tempo?
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma circunferência cujo raio
está crescendo a uma taxa de
. A pergunta é: qual a taxa de crescimento do comprimento
dessa circunferência em relação ao tempo? Vamos usar cálculo diferencial para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, lembremos da fórmula do comprimento de uma circunferência:
Aqui,
é o comprimento e
é o raio.
Passo 3
Como queremos saber como
está mudando no tempo, vamos derivar a fórmula do
em relação ao tempo
:
Isso significa que a taxa de variação de
depende da taxa de variação de
.
Passo 4
Sabemos que
. Vamos substituir esse valor na equação que encontramos:
Passo 5
Agora, basta fazer a multiplicação:
Se preferir um valor numérico, usando
:
Resposta
A taxa de crescimento do comprimento da circunferência é
, ou aproximadamente
.
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