A adição de dois vetores de mesma direção e mesmo sentido resulta num vetor cujo módulo vale 8. Quando estes vetores são colocados perpendicularmente, entre si, o módulo do vetor resultante vale 4√2. Portanto, os valores dos módulos destes vetores são:
1 e 7 1/2 e 7,5
3 e 5
4 e 4
2 e 6

Passo 1

Vamos resumir o que a questão pede. Temos dois vetores com a mesma direção e sentido, cuja soma resulta em um vetor com módulo igual a 8. Além disso, quando esses mesmos vetores são colocados perpendicularmente entre si, o módulo do vetor resultante é 4raiz2. Precisamos descobrir quais são os módulos desses dois vetores. Para resolver isso, vamos usar conceitos de adição de vetores e teorema de Pitágoras para vetores perpendiculares.

Passo 2

Primeiro, vamos considerar os vetores na mesma direção e sentido. Quando dois vetores estão alinhados dessa maneira, a soma dos seus módulos é simplesmente a soma dos valores individuais. Vamos chamar os módulos dos vetores de $ A $ e $ B $. Então, temos:
A

Passo 3

Agora, vamos analisar quando os vetores estão perpendiculares. Quando dois vetores estão perpendicularmente, a magnitude do vetor resultante pode ser encontrada usando o teorema de Pitágoras. A fórmula fica assim:
raizA^2 + B^2 = 4raiz2
Para facilitar, vamos elevar ambos os lados ao quadrado para eliminar a raiz:
A^2 + B^2 = (4raiz2)^2
A^2 + B^2 = 32

Passo 4

Agora temos um sistema de duas equações:
  1. $ A + B = 8 $
  2. $ A^2 + B^2 = 32 $
Vamos resolver esse sistema. Da primeira equação, podemos expressar $ B $ em termos de $ A $:
A + B = 8
Substituindo esse valor na segunda equação:
A^2 + B^2 = 32
B
A
B = 8 - A

Passo 5

Dividindo toda a equação por 2 para simplificar:
A^2 - 8A + 16 = 0
Essa é uma equação quadrática que podemos resolver pela fórmula de Bhaskara ou fatoração. Observando, vemos que:
(A - 4)^2 = 0
Portanto:
A = 4

Passo 6

Agora que encontramos $ A = 4 $, substituímos na equação $ B = 8 - A $:
A = 4

Resposta

Os módulos dos vetores são 4 e 4.

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