A adição de dois vetores de mesma direção e mesmo sentido resulta num vetor cujo módulo vale 8. Quando estes vetores são colocados perpendicularmente, entre si, o módulo do vetor resultante vale 4√2. Portanto, os valores dos módulos destes vetores são:
1 e 7 1/2 e 7,5
3 e 5
4 e 4
2 e 6
1 e 7 1/2 e 7,5
3 e 5
4 e 4
2 e 6
Passo 1
Vamos resumir o que a questão pede. Temos dois vetores com a mesma direção e sentido, cuja soma resulta em um vetor com módulo igual a 8. Além disso, quando esses mesmos vetores são colocados perpendicularmente entre si, o módulo do vetor resultante é
. Precisamos descobrir quais são os módulos desses dois vetores. Para resolver isso, vamos usar conceitos de adição de vetores e teorema de Pitágoras para vetores perpendiculares.
Passo 2
Primeiro, vamos considerar os vetores na mesma direção e sentido. Quando dois vetores estão alinhados dessa maneira, a soma dos seus módulos é simplesmente a soma dos valores individuais. Vamos chamar os módulos dos vetores de $ A $ e $ B $. Então, temos:
Passo 3
Agora, vamos analisar quando os vetores estão perpendiculares. Quando dois vetores estão perpendicularmente, a magnitude do vetor resultante pode ser encontrada usando o teorema de Pitágoras. A fórmula fica assim:
Para facilitar, vamos elevar ambos os lados ao quadrado para eliminar a raiz:
Passo 4
Agora temos um sistema de duas equações:
- $ A + B = 8 $
- $ A^2 + B^2 = 32 $
Vamos resolver esse sistema. Da primeira equação, podemos expressar $ B $ em termos de $ A $:
Substituindo esse valor na segunda equação:
Passo 5
Dividindo toda a equação por 2 para simplificar:
Essa é uma equação quadrática que podemos resolver pela fórmula de Bhaskara ou fatoração. Observando, vemos que:
Portanto:
Passo 6
Agora que encontramos $ A = 4 $, substituímos na equação $ B = 8 - A $:
Resposta
Os módulos dos vetores são 4 e 4.