Demonstre a validade do seguinte argumento: Se o jardim não é florido, então o gato mia. Se o jardim é florido, então o passarinho não canta. Ora, o passarinho canta. Portanto, o gato mia. Simbolizando estas proposições: p: o jardim é florido. q: o gato mia. r: o passarinho canta. Considerando, então, expressar o argumento anterior desta forma: ˜p → q, p → ˜r, r Ⱶ q. Qual é a demonstração CORRETA para este argumento?
a. (1): ˜p ↔ q (2): p ↔ ˜r (3): r De (3) e (2) usando MT, conclui-se (6) ˜p De (6) e (1) usando MT, conclui-se (7) q. Ficou provado, então, q: o gato mia
b. (1): ˜p ↔ q (2): p → r (3): r De (3) e (2) usando MT, conclui-se (6) ˜p De (6) e (1) usando MP, conclui-se (7) q. Ficou provado, então, q: o gato mia
c. (1): ˜p → q (2): p ↔ ˜r (3): r De (3) e (2) usando MP, conclui-se (6) ˜p De (6) e (1) usando MP, conclui-se (7) q. Ficou provado, então, q: o gato mia
d. (1): p → q (2): p → ˜r (3): r De (3) e (2) usando MT, conclui-se (6) ˜p De (6) e (1) usando MP, conclui-se (7) q. Ficou provado, então, q: o gato mia
e. (1): ˜p → q (2): p → ˜r (3): r De (3) e (2) usando MT, conclui-se (6) ˜p De (6) e (1) usando MP, conclui-se (7) q. Ficou provado, então, q: o gato mia
a. (1): ˜p ↔ q (2): p ↔ ˜r (3): r De (3) e (2) usando MT, conclui-se (6) ˜p De (6) e (1) usando MT, conclui-se (7) q. Ficou provado, então, q: o gato mia
b. (1): ˜p ↔ q (2): p → r (3): r De (3) e (2) usando MT, conclui-se (6) ˜p De (6) e (1) usando MP, conclui-se (7) q. Ficou provado, então, q: o gato mia
c. (1): ˜p → q (2): p ↔ ˜r (3): r De (3) e (2) usando MP, conclui-se (6) ˜p De (6) e (1) usando MP, conclui-se (7) q. Ficou provado, então, q: o gato mia
d. (1): p → q (2): p → ˜r (3): r De (3) e (2) usando MT, conclui-se (6) ˜p De (6) e (1) usando MP, conclui-se (7) q. Ficou provado, então, q: o gato mia
e. (1): ˜p → q (2): p → ˜r (3): r De (3) e (2) usando MT, conclui-se (6) ˜p De (6) e (1) usando MP, conclui-se (7) q. Ficou provado, então, q: o gato mia
Passo 1
Então, a gente tem essa questão de lógica que fala assim:
- Se o jardim não é florido (
¬p
), então o gato mia (q
). - Se o jardim é florido (
p
), então o passarinho não canta (¬r
). - A gente sabe que o passarinho canta (
r
).
A matéria aqui é Lógica Proposicional e vamos precisar usar alguns modus tollens e modus ponens pra resolver isso.
Passo 2
Primeiro, olha só a segunda proposição:
p → ¬r
. Isso significa que se o jardim é florido, o passarinho não canta. Mas a gente sabe que o passarinho canta (r
).Aqui entra o modus tollens, que basicamente diz: se
A → B
e a gente sabe que B
é falso, então A
também é falso. No nosso caso:A
ép
(o jardim é florido)B
é¬r
(o passarinho não canta)
Como sabemos que
r
é verdadeiro, ¬r
é falso. Então, pelo modus tollens, p
também deve ser falso. Então, concluímos que ¬p
é verdadeiro.Passo 3
Agora que sabemos que
¬p
é verdadeiro, vamos usar a primeira proposição: ¬p → q
. Isso significa que se o jardim não é florido, então o gato mia.Aqui usamos o modus ponens, que diz: se
A → B
e A
é verdadeiro, então B
também é verdadeiro. No nosso caso:A
é¬p
(o jardim não é florido)B
éq
(o gato mia)
Como
¬p
é verdadeiro, pelo modus ponens, q
também é verdadeiro. Ou seja, o gato realmente mia.Resposta
Portanto, concluímos que
q
: o gato mia.