Demonstre a validade do seguinte argumento: Se o jardim não é florido, então o gato mia. Se o jardim é florido, então o passarinho não canta. Ora, o passarinho canta. Portanto, o gato mia. Simbolizando estas proposições: p: o jardim é florido. q: o gato mia. r: o passarinho canta. Considerando, então, expressar o argumento anterior desta forma: ˜p → q, p → ˜r, r Ⱶ q. Qual é a demonstração CORRETA para este argumento?
a. (1): ˜p ↔ q (2): p ↔ ˜r (3): r De (3) e (2) usando MT, conclui-se (6) ˜p De (6) e (1) usando MT, conclui-se (7) q. Ficou provado, então, q: o gato mia
b. (1): ˜p ↔ q (2): p → r (3): r De (3) e (2) usando MT, conclui-se (6) ˜p De (6) e (1) usando MP, conclui-se (7) q. Ficou provado, então, q: o gato mia
c. (1): ˜p → q (2): p ↔ ˜r (3): r De (3) e (2) usando MP, conclui-se (6) ˜p De (6) e (1) usando MP, conclui-se (7) q. Ficou provado, então, q: o gato mia
d. (1): p → q (2): p → ˜r (3): r De (3) e (2) usando MT, conclui-se (6) ˜p De (6) e (1) usando MP, conclui-se (7) q. Ficou provado, então, q: o gato mia
e. (1): ˜p → q (2): p → ˜r (3): r De (3) e (2) usando MT, conclui-se (6) ˜p De (6) e (1) usando MP, conclui-se (7) q. Ficou provado, então, q: o gato mia

Passo 1

Então, a gente tem essa questão de lógica que fala assim:
  • Se o jardim não é florido (¬p), então o gato mia (q).
  • Se o jardim é florido (p), então o passarinho não canta (¬r).
  • A gente sabe que o passarinho canta (r).
A matéria aqui é Lógica Proposicional e vamos precisar usar alguns modus tollens e modus ponens pra resolver isso.

Passo 2

Primeiro, olha só a segunda proposição: p → ¬r. Isso significa que se o jardim é florido, o passarinho não canta. Mas a gente sabe que o passarinho canta (r).
Aqui entra o modus tollens, que basicamente diz: se A → B e a gente sabe que B é falso, então A também é falso. No nosso caso:
  • A é p (o jardim é florido)
  • B é ¬r (o passarinho não canta)
Como sabemos que r é verdadeiro, ¬r é falso. Então, pelo modus tollens, p também deve ser falso. Então, concluímos que ¬p é verdadeiro.

Passo 3

Agora que sabemos que ¬p é verdadeiro, vamos usar a primeira proposição: ¬p → q. Isso significa que se o jardim não é florido, então o gato mia.
Aqui usamos o modus ponens, que diz: se A → B e A é verdadeiro, então B também é verdadeiro. No nosso caso:
  • A é ¬p (o jardim não é florido)
  • B é q (o gato mia)
Como ¬p é verdadeiro, pelo modus ponens, q também é verdadeiro. Ou seja, o gato realmente mia.

Resposta

Portanto, concluímos que q: o gato mia.

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