Admitindo que um plano com densidade de carga uniforme seja infinito e esteja localizado em xy, calcule. O campo elétrico em
e
. Considerar duas superfícies gaussianas diferentes.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão fala sobre um plano infinito com densidade de carga uniforme, posicionado no plano xy. Precisamos calcular o campo elétrico nas regiões acima do plano (z > 0) e abaixo do plano (z < 0). Para isso, vamos usar o conceito de superfícies gaussianas, que nos ajuda a aplicar a Lei de Gauss de maneira prática.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é a Lei de Gauss. Ela diz que o fluxo elétrico total através de uma superfície fechada é igual à carga total dentro dessa superfície dividida pela constante elétrica ε₀. Matematicamente, é:
Passo 3
Como temos um plano infinito, é estratégico escolher uma superfície gaussiana que aproveite essa simetria. Vamos usar uma “caixa” retangular (chamada de paralelepípedo) que atravessa o plano. Essa caixa terá duas faces paralelas ao plano, uma em z > 0 e outra em z < 0, e as outras quatro faces serão perpendiculares ao plano.
Passo 4
Agora, vamos calcular o fluxo elétrico através de cada face da caixa. Nas quatro faces laterais perpendiculares ao plano, o campo elétrico será paralelo a essas superfícies, então o fluxo através delas é zero. Apenas as duas faces paralelas ao plano contribuem para o fluxo.
Passo 5
Suponha que o campo elétrico tenha intensidade E e seja perpendicular ao plano. O fluxo elétrico total é então:
Aqui, A é a área de cada face da caixa.
Passo 6
A carga total dentro da superfície gaussiana é a densidade de carga σ multiplicada pela área A do plano, ou seja:
Passo 7
Aplicando a Lei de Gauss:
Podemos simplificar A dos dois lados:
Passo 8
Resolvendo para E:
Isso significa que o campo elétrico tem intensidade
em cada lado do plano.
Resposta
O campo elétrico gerado pelo plano infinito com densidade de carga σ é igual a
em magnitude, direcionado perpendicularmente para cima (z > 0) e para baixo (z < 0).
Exercícios relacionados
Considerando toda a superfície da bola e da caixa. Qual é o fluxo do campo elétrico sobre cada uma dessas superfícies? Justifique.
Uma partícula se move em um círculo (cento O e raio R ) com velocidade angular constante
, no sentido anti-horário. O círculo está sobre o plano xy e a partícula está sobre o eixo x no instante
.
a) Mostre que a posição da partícula é dada por .
b) Determine a velocidade e a aceleração da partícula. (
c) Quais são a magnitude e a direção da aceleração? ( )
d) Relacione seu resultado com as propriedades bem conhecidas do movimento circular uniforme.
a) Mostre que a posição da partícula é dada por
b) Determine a velocidade e a aceleração da partícula. (
c) Quais são a magnitude e a direção da aceleração? (
d) Relacione seu resultado com as propriedades bem conhecidas do movimento circular uniforme.
Qual das opções possui o campo elétrico mais intenso? Justifique.
E possível imaginar alguma superfície fechada que apresente fluxo negativo nas seguintes situações: Para objeto fora da superfície. Dividindo a superfície ao meio, de modo a ter uma parte mais próxima à carga e outra mais distante. É possível obter um fluxo resultante na parte mais distante?