Uma partícula se move em um círculo (cento O e raio R ) com velocidade angular constante
, no sentido anti-horário. O círculo está sobre o plano xy e a partícula está sobre o eixo x no instante
.
a) Mostre que a posição da partícula é dada por
.
b) Determine a velocidade e a aceleração da partícula. (
c) Quais são a magnitude e a direção da aceleração? (
)
d) Relacione seu resultado com as propriedades bem conhecidas do movimento circular uniforme.
a) Mostre que a posição da partícula é dada por
b) Determine a velocidade e a aceleração da partícula. (
c) Quais são a magnitude e a direção da aceleração? (
d) Relacione seu resultado com as propriedades bem conhecidas do movimento circular uniforme.
Passo 1
Então, a gente tem uma partícula que está se movendo em um círculo com raio
e velocidade angular constante
. Ela começa no eixo
quando o tempo
. Vamos usar conceitos de movimento circular uniforme para encontrar a posição, velocidade e aceleração da partícula, além de relacionar tudo isso com as propriedades conhecidas desse tipo de movimento.
Passo 2
Primeiro, vamos descrever a posição da partícula em qualquer instante
. Como ela está se movendo em um círculo, podemos usar as funções trigonométricas seno e cosseno para representar suas coordenadas
e
.
Passo 3
Como a partícula começa no eixo
, sua posição inicial é
. À medida que o tempo passa, ela gira no sentido anti-horário, então sua coordenada
diminui com
e a coordenada
aumenta com
.
Passo 4
Portanto, a posição vetorial
da partícula pode ser escrita como:
Isso significa que, em qualquer tempo
, a posição da partícula é dada pelas componentes nas direções
e
.
Passo 5
Agora, para encontrar a velocidade
, a gente deriva a posição em relação ao tempo. A derivada de
é
e a derivada de
é
.
Passo 6
Então, a velocidade fica:
Passo 7
Para a aceleração
, derivamos a velocidade em relação ao tempo. A derivada de
é
e a derivada de
é
.
Passo 8
Então, a aceleração fica:
Isso mostra que a aceleração está sempre na direção oposta à posição, característica do movimento circular uniforme.
Passo 9
A magnitude da aceleração
é:
E, observando a relação
, podemos escrever:
Isso mostra que a aceleração centrípeta depende do quadrado da velocidade e inversamente do raio do círculo.
Passo 10
Finalmente, relacionando tudo com as propriedades do movimento circular uniforme:
- A posição, velocidade e aceleração estão todas ligadas pelas funções trigonométricas e pela velocidade angular
. - A aceleração centrípeta mantém a partícula em movimento circular, sempre perpendicular à velocidade.
- A magnitude da aceleração depende da velocidade e do raio, confirmando que, para manter o movimento circular, é necessária uma aceleração direcionada para o centro.
Resposta
A posição, velocidade e aceleração da partícula são dadas por:
A magnitude da aceleração é
, confirmando as propriedades do movimento circular uniforme.
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.
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