Admitindo que as propriedades
e
são constantes no campo do escoamento e definindo as variáveis adimensionais:
onde
é um comprimento de referência,
é a temperatura da parede (também admitida constante), enquanto
e
correspondem a velocidade e temperatura do escoamento não-perturbado, respectivamente.
Mostre que a eq. de conservação da energia adimensional pode ser escrita na forma:
onde os parâmetros adimensionais
e
são definidos como:
Mostre que a eq. de conservação da energia adimensional pode ser escrita na forma:
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para mostrarmos que a equação de conservação da energia adimensional pode ser escrita de uma forma específica, usando algumas variáveis e parâmetros adimensionais. Para resolver isso, vamos precisar entender de mecânica dos fluidos e transferência de calor, além de trabalhar com variáveis adimensionais e números de similaridade como Reynolds, Prandtl e Eckert.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar qual é a equação de conservação da energia no escoamento de um fluido. Em forma dimensional, ela geralmente é escrita como:
Aqui:
-
e são as componentes da velocidade do fluido nas direções e . -
é a temperatura. -
é a difusividade térmica, onde . -
é a viscosidade dinâmica. -
é a densidade. -
é a capacidade calorífica a pressão constante.
Passo 3
Agora, vamos introduzir as variáveis adimensionais que a questão forneceu:
Aqui:
-
é um comprimento de referência. -
é a velocidade do escoamento não perturbado. -
é a temperatura da parede. -
é a temperatura do escoamento não perturbado.
Passo 4
Vamos substituir as variáveis dimensionais na equação de conservação da energia pelas adimensionais:
Primeiro, calculamos as derivadas parciais em termos das variáveis adimensionais:
Substituindo na equação original:
Passo 5
Vamos simplificar essa expressão:
Multiplicando os termos:
Agora, vamos dividir ambos os lados por
:
Passo 6
Vamos agora introduzir os números adimensionais definidos na questão:
- Número de Reynolds baseado no comprimento
:
- Número de Prandtl:
- Número de Eckert:
Sabemos que a difusividade térmica
é:
Substituindo
e rearranjando termos:
E para o termo com
:
Passo 7
Substituindo esses resultados na equação simplificada:
Resposta
Assim, demonstramos que a equação de conservação da energia adimensional é:
Exercícios relacionados
Admitindo que o escoamento seja invíscido, determine os coeficientes de sustentação,
, e arrasto,
, em função de
.
(a)
Determine: O ângulo de ataque de sustentação nula,
.
Admitindo que o escoamento seja invíscido e sabendo que a distribuição de
deste perfil, sob tais condições do escoamento não-perturbado é tal que:
. Determine: O coeficiente de sustentação,
.