Admitindo que as propriedades e são constantes no campo do escoamento e definindo as variáveis adimensionais:
onde é um comprimento de referência, é a temperatura da parede (também admitida constante), enquanto e correspondem a velocidade e temperatura do escoamento não-perturbado, respectivamente.
Mostre que a eq. de conservação da energia adimensional pode ser escrita na forma:
onde os parâmetros adimensionais e são definidos como:

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para mostrarmos que a equação de conservação da energia adimensional pode ser escrita de uma forma específica, usando algumas variáveis e parâmetros adimensionais. Para resolver isso, vamos precisar entender de mecânica dos fluidos e transferência de calor, além de trabalhar com variáveis adimensionais e números de similaridade como Reynolds, Prandtl e Eckert.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar qual é a equação de conservação da energia no escoamento de um fluido. Em forma dimensional, ela geralmente é escrita como:
Aqui:
  • e são as componentes da velocidade do fluido nas direções e .
  • é a temperatura.
  • é a difusividade térmica, onde .
  • é a viscosidade dinâmica.
  • é a densidade.
  • é a capacidade calorífica a pressão constante.

Passo 3

Agora, vamos introduzir as variáveis adimensionais que a questão forneceu:
Aqui:
  • é um comprimento de referência.
  • é a velocidade do escoamento não perturbado.
  • é a temperatura da parede.
  • é a temperatura do escoamento não perturbado.

Passo 4

Vamos substituir as variáveis dimensionais na equação de conservação da energia pelas adimensionais:
Primeiro, calculamos as derivadas parciais em termos das variáveis adimensionais:
Substituindo na equação original:

Passo 5

Vamos simplificar essa expressão:
Multiplicando os termos:
Agora, vamos dividir ambos os lados por :

Passo 6

Vamos agora introduzir os números adimensionais definidos na questão:
  1. Número de Reynolds baseado no comprimento :
  1. Número de Prandtl:
  1. Número de Eckert:
Sabemos que a difusividade térmica é:
Substituindo e rearranjando termos:
E para o termo com :

Passo 7

Substituindo esses resultados na equação simplificada:

Resposta

Assim, demonstramos que a equação de conservação da energia adimensional é:

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