Admitindo que as propriedades cp, kappa e mu são constantes no campo do escoamento e definindo as variáveis adimensionais:
barx equiv xL ; bary equiv yL ; baru equiv uVinfty ; barv equiv vVinfty ; barT equiv T-TsTinfty-Ts
onde L é um comprimento de referência, Ts é a temperatura da parede (também admitida constante), enquanto Vinfty e Tinfty correspondem a velocidade e temperatura do escoamento não-perturbado, respectivamente.
Mostre que a eq. de conservação da energia adimensional pode ser escrita na forma:
baru partial barTpartial barx+barv partial barTpartial bary=1R eL Pr partial^2 barTpartial bary^2+E cR eL(partial barupartial bary)^2
onde os parâmetros adimensionais R eL, Pr e E c são definidos como:
R eL equiv rho Vinfty Lmu ; Pr equiv mu cpkappa ; E c equiv Vinfty^2cp(Tinfty-Ts)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para mostrarmos que a equação de conservação da energia adimensional pode ser escrita de uma forma específica, usando algumas variáveis e parâmetros adimensionais. Para resolver isso, vamos precisar entender de mecânica dos fluidos e transferência de calor, além de trabalhar com variáveis adimensionais e números de similaridade como Reynolds, Prandtl e Eckert.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar qual é a equação de conservação da energia no escoamento de um fluido. Em forma dimensional, ela geralmente é escrita como:
u partial Tpartial x + v partial Tpartial y = alpha partial^2 Tpartial y^2 + murho cp ( partial upartial y )^2
Aqui:
  • e são as componentes da velocidade do fluido nas direções e .
  • é a temperatura.
  • é a difusividade térmica, onde .
  • é a viscosidade dinâmica.
  • é a densidade.
  • é a capacidade calorífica a pressão constante.

Passo 3

Agora, vamos introduzir as variáveis adimensionais que a questão forneceu:
barx = xL, bary = yL, baru = uVinfty, barv = vVinfty, barT = T - TsTinfty - Ts
Aqui:
  • é um comprimento de referência.
  • é a velocidade do escoamento não perturbado.
  • é a temperatura da parede.
  • é a temperatura do escoamento não perturbado.

Passo 4

Vamos substituir as variáveis dimensionais na equação de conservação da energia pelas adimensionais:
Primeiro, calculamos as derivadas parciais em termos das variáveis adimensionais:
partialpartial x = 1L partialpartial barx, partialpartial y = 1L partialpartial bary
Substituindo na equação original:
( Vinfty baru ) ( Tinfty - TsL partial barTpartial barx ) + ( Vinfty barv ) ( Tinfty - TsL partial barTpartial bary ) = alpha ( Tinfty - TsL^2 partial^2 barTpartial bary^2 ) + murho cp ( VinftyL partial barupartial bary )^2

Passo 5

Vamos simplificar essa expressão:
Multiplicando os termos:
Vinfty (Tinfty - Ts)L ( baru partial barTpartial barx + barv partial barTpartial bary ) = alpha (Tinfty - Ts)L^2 partial^2 barTpartial bary^2 + mu Vinfty^2rho cp L^2 ( partial barupartial bary )^2
Agora, vamos dividir ambos os lados por baru partial barTpartial barx + barv partial barTpartial bary = alphaVinfty L partial^2 barTpartial bary^2 + mu Vinftyrho cp (Tinfty - Ts) ( partial barupartial bary )^2 :

Passo 6

Vamos agora introduzir os números adimensionais definidos na questão:
  1. Número de Reynolds baseado no comprimento ReL = rho Vinfty Lmu :
Pr = mu cpkappa
  1. Número de Prandtl:
Ec = Vinfty^2cp (Tinfty - Ts)
  1. Número de Eckert:
alpha = kapparho cp
Sabemos que a difusividade térmica alphaVinfty L = kapparho cp Vinfty L = 1ReL Pr é:
mu Vinftyrho cp (Tinfty - Ts) = Vinfty^2cp (Tinfty - Ts) cdot murho Vinfty L = EcReL
Substituindo e rearranjando termos:
E para o termo com :

Passo 7

Substituindo esses resultados na equação simplificada:
baru partial barTpartial barx + barv partial barTpartial bary = 1ReL Pr partial^2 barTpartial bary^2 + EcReL ( partial barupartial bary )^2

Resposta

Assim, demonstramos que a equação de conservação da energia adimensional é:
baru partial barTpartial barx + barv partial barTpartial bary = 1ReL Pr partial^2 barTpartial bary^2 + EcReL ( partial barupartial bary )^2

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