( 0,05 ) Um asteróide, cuja massa é 2,0 times 10^-4 vezes a massa da Terra, gira em uma órbita circular em torno do Sol a uma distância que é o dobro da distância da Terra ao Sol. (a) Calcule o período de revolução do asteróide em anos. (b) Qual a razão entre a energia cinética do asteróide e a energia cinética da Terra?
(a) T=2,8 anos. (b) K / Kt=1.0 times 10^-4.

Passo 1

Vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos um asteróide com uma massa que é 2,0 times 10^-4 vezes a massa da Terra. Ele está orbitando o Sol em uma trajetória circular, a uma distância que é o dobro da distância entre a Terra e o Sol. Precisamos calcular:
a) O período de revolução do asteróide em anos.
b) A razão entre a energia cinética do asteróide e a energia cinética da Terra.
Para resolver isso, vamos usar conceitos de leis de Kepler e energia cinética na física.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o período de revolução do asteróide. Sabemos que a distância do asteróide ao Sol é o dobro da distância da Terra ao Sol. Vamos chamar a distância da Terra ao Sol de R.
Então, a distância do asteróide ao Sol é 2R.

Passo 3

As leis de Kepler nos dizem que o período de um planeta ao redor do Sol está relacionado à distância média da órbita. A terceira lei de Kepler pode ser expressa pela fórmula:
(T1T2)^2 = (R1R2)^3
Onde:
  • T1 e T2 são os períodos de dois corpos diferentes.
  • R1 e R2 são as distâncias médias desses corpos ao Sol.

Passo 4

No caso da Terra, sabemos que seu período TTerra é 1 ano, e sua distância ao Sol RTerra é R. Para o asteróide, o período é Tasteróideó e a distância é 2R.
Aplicando a terceira lei de Kepler:
(Tasteróide1, ano)^2 = (2RR)^3 ó
(Tasteróide)^2 = 2^3 = 8 ó

Passo 5

Agora, tiramos a raiz quadrada de ambos os lados para encontrar Tasteróideó:
Tasteróide = raiz8 approx 2,828, anos ó
Arredondando, temos aproximadamente 2,8 anos.

Passo 6

Agora, vamos calcular a razão entre a energia cinética do asteróide ( Kasteróideó) e a energia cinética da Terra ( KTerra).
A energia cinética de um objeto em movimento circular é dada por:
K = 12mv^2
Onde:
  • m é a massa do objeto.
  • v é a velocidade orbital.

Passo 7

Para comparar as energias cinéticas, precisamos expressar as velocidades orbitais. Sabemos que a velocidade em uma órbita circular é dada por:
v = raizG Mr
Onde:
  • G é a constante gravitacional.
  • M é a massa do Sol.
  • r é a distância ao Sol.

Passo 8

Vamos encontrar a relação entre as velocidades do asteróide e da Terra:
vasteróidevTerra = raizrTerrarasteróide = raizR2R = raiz12 = 1raiz2 óó

Passo 9

Agora, substituímos na expressão da energia cinética:
KasteróideKTerra = 12 masteróide vasteróide^212 mTerra vTerra^2 = masteróidemTerra (vasteróidevTerra)^2 óóóóó
Substituindo os valores:
KasteróideKTerra = 2,0 times 10^-41 (1raiz2)^2 = 2,0 times 10^-4 times 12 = 1,0 times 10^-4 ó

Resposta

(a) O período de revolução do asteróide é aproximadamente 2,8 anos.
(b) A razão entre a energia cinética do asteróide e a energia cinética da Terra é 1,0 times 10^-4.

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