Um asteróide, cuja massa é vezes a massa da Terra, gira em uma órbita circular em torno do Sol a uma distância que é o dobro da distância da Terra ao Sol. (a) Calcule o período de revolução do asteróide em anos. (b) Qual a razão entre a energia cinética do asteróide e a energia cinética da Terra?
(a) anos. (b) .

Passo 1

Vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos um asteróide com uma massa que é vezes a massa da Terra. Ele está orbitando o Sol em uma trajetória circular, a uma distância que é o dobro da distância entre a Terra e o Sol. Precisamos calcular:
a) O período de revolução do asteróide em anos.
b) A razão entre a energia cinética do asteróide e a energia cinética da Terra.
Para resolver isso, vamos usar conceitos de leis de Kepler e energia cinética na física.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o período de revolução do asteróide. Sabemos que a distância do asteróide ao Sol é o dobro da distância da Terra ao Sol. Vamos chamar a distância da Terra ao Sol de .
Então, a distância do asteróide ao Sol é .

Passo 3

As leis de Kepler nos dizem que o período de um planeta ao redor do Sol está relacionado à distância média da órbita. A terceira lei de Kepler pode ser expressa pela fórmula:
Onde:
  • e são os períodos de dois corpos diferentes.
  • e são as distâncias médias desses corpos ao Sol.

Passo 4

No caso da Terra, sabemos que seu período é 1 ano, e sua distância ao Sol é . Para o asteróide, o período é ó e a distância é .
Aplicando a terceira lei de Kepler:
ó
ó

Passo 5

Agora, tiramos a raiz quadrada de ambos os lados para encontrar ó:
ó
Arredondando, temos aproximadamente 2,8 anos.

Passo 6

Agora, vamos calcular a razão entre a energia cinética do asteróide ( ó) e a energia cinética da Terra ( ).
A energia cinética de um objeto em movimento circular é dada por:
Onde:
  • é a massa do objeto.
  • é a velocidade orbital.

Passo 7

Para comparar as energias cinéticas, precisamos expressar as velocidades orbitais. Sabemos que a velocidade em uma órbita circular é dada por:
Onde:
  • é a constante gravitacional.
  • é a massa do Sol.
  • é a distância ao Sol.

Passo 8

Vamos encontrar a relação entre as velocidades do asteróide e da Terra:
óó

Passo 9

Agora, substituímos na expressão da energia cinética:
óóóóó
Substituindo os valores:
ó

Resposta

(a) O período de revolução do asteróide é aproximadamente 2,8 anos.
(b) A razão entre a energia cinética do asteróide e a energia cinética da Terra é .

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