Se as adutoras da SABESP apresentam um vazamento por dia por 10 km de linha, qual a chance de se encontrar, em uma inspeção de um trecho qualquer de 5 km :
pelo menos um vazamento?

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão fala sobre vazamentos nas adutoras da SABESP, que têm uma taxa de 1 vazamento por dia a cada 10 km de linha. Queremos descobrir qual a chance de encontrar pelo menos um vazamento em uma inspeção de 5 km de trecho. Para resolver isso, vamos usar conceitos de probabilidade, mais especificamente, a Distribuição de Poisson, que é ótima para calcular a probabilidade de eventos que ocorrem de forma aleatória em um espaço ou tempo fixo.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender a Distribuição de Poisson. Ela é usada quando queremos saber a probabilidade de um certo número de eventos acontecerem em um intervalo fixo, dadas a taxa média de ocorrência desses eventos e a independência entre eles. No nosso caso, os eventos são os vazamentos nas adutoras.
A fórmula da Distribuição de Poisson é:
P(k; lambda) = e^-lambda lambda^kk!
Onde:
  • $ P(k; \lambda) $ é a probabilidade de ocorrer exatamente $ k $ eventos;
  • $ \lambda $ é a taxa média de eventos no intervalo considerado;
  • $ e $ é a base do logaritmo natural (aproximadamente 2,71828);
  • $ k! $ é o fatorial de $ k $.

Passo 3

Vamos identificar o valor de $ \lambda $ para o nosso problema. A taxa é de 1 vazamento por 10 km, então para 5 km, a taxa média $ \lambda $ será:
lambda

Passo 4

Queremos a probabilidade de encontrar pelo menos um vazamento em 5 km. Isso é igual a 1 menos a probabilidade de não encontrar nenhum vazamento. Em termos da Distribuição de Poisson:
P(k >= 1) = 1 - P(k = 0)
Primeiro, calculamos $ P(k = 0) $:
P(k = 0)
Sabendo que $ e^{-0,5} $ é aproximadamente 0,6065.

Passo 5

Agora, calculamos a probabilidade de pelo menos um vazamento:
P(k >= 1) = 1 - 0,6065 = 0,3935
Isso significa que há aproximadamente 39,35% de chance de encontrar pelo menos um vazamento em uma inspeção de 5 km.

Resposta

A probabilidade de encontrar pelo menos um vazamento em um trecho de 5 km é de aproximadamente 39,3%.

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