A probabilidade de um arqueiro acertar um alvo com uma única flecha é de 0,20. Lança 30 flechas no alvo. Qual a probabilidade de que:
pelo menos 3 acertarem o alvo?

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um problema de probabilidade, que é uma área da matemática que estuda as chances de acontecerem determinados eventos. Aqui, um arqueiro tem 20% de chance de acertar o alvo com uma flecha. Ele vai lançar 30 flechas no alvo e queremos saber qual a probabilidade de pelo menos 3 dessas flechas acertarem o alvo. Para resolver isso, vamos precisar usar a Distribuição Binomial, que é perfeita para situações onde temos um número fixo de tentativas, cada uma com duas possíveis saídas: sucesso ou fracasso.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa “pelo menos 3 acertarem”. Isso inclui todas as situações onde 3, 4, 5, …, até 30 flechas acertam o alvo. Para calcular isso diretamente seria meio complicado, então vamos usar um truque matemático: calcular a probabilidade complementar, ou seja, a probabilidade de menos de 3 flechas acertarem, e depois subtrair isso de 1.

Passo 3

Então, queremos calcular:
P(pelo menos 3 acertos) = 1 - P(menos de 3 acertos)
E “menos de 3 acertos” inclui 0, 1 e 2 acertos. Portanto:
P(menos de 3 acertos) = P(0) + P(1) + P(2)

Passo 4

Agora, vamos usar a fórmula da Distribuição Binomial para calcular cada uma dessas probabilidades. A fórmula é:
P(k) = binomnk p^k (1-p)^n-k
Onde:
  • $ n $ é o número total de tentativas (30 flechas),
  • $ k $ é o número de sucessos desejados,
  • $ p $ é a probabilidade de sucesso em cada tentativa (0,20),
  • $ \binom{n}{k} $ é o coeficiente binomial, que calcula de quantas maneiras podemos escolher $ k $ sucessos em $ n $ tentativas.

Passo 5

Vamos calcular $ P(0) $:
P(0)

Passo 6

Agora, $ P(1) $:
P(1)

Passo 7

E $ P(2) $:
P(2)

Passo 8

Agora, somamos essas probabilidades para obter $ P(menos de 3 acertos) $:
P(menos de 3 acertos)

Passo 9

Finalmente, subtraímos isso de 1 para encontrar a probabilidade de pelo menos 3 acertos:
P(pelo menos 3 acertos) = 1 - 0,00807 approx 0,9919

Resposta

A probabilidade de que pelo menos 3 das 30 flechas acertem o alvo é aproximadamente 99,19%.

Exercícios relacionados