A probabilidade de um arqueiro acertar um alvo com uma única flecha é de 0,20. Lança 30 flechas no alvo. Qual a probabilidade de que:
pelo menos 3 acertarem o alvo?
pelo menos 3 acertarem o alvo?
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um problema de probabilidade, que é uma área da matemática que estuda as chances de acontecerem determinados eventos. Aqui, um arqueiro tem 20% de chance de acertar o alvo com uma flecha. Ele vai lançar 30 flechas no alvo e queremos saber qual a probabilidade de pelo menos 3 dessas flechas acertarem o alvo. Para resolver isso, vamos precisar usar a Distribuição Binomial, que é perfeita para situações onde temos um número fixo de tentativas, cada uma com duas possíveis saídas: sucesso ou fracasso.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa “pelo menos 3 acertarem”. Isso inclui todas as situações onde 3, 4, 5, …, até 30 flechas acertam o alvo. Para calcular isso diretamente seria meio complicado, então vamos usar um truque matemático: calcular a probabilidade complementar, ou seja, a probabilidade de menos de 3 flechas acertarem, e depois subtrair isso de 1.
Passo 3
Então, queremos calcular:
E “menos de 3 acertos” inclui 0, 1 e 2 acertos. Portanto:
Passo 4
Agora, vamos usar a fórmula da Distribuição Binomial para calcular cada uma dessas probabilidades. A fórmula é:
Onde:
- $ n $ é o número total de tentativas (30 flechas),
- $ k $ é o número de sucessos desejados,
- $ p $ é a probabilidade de sucesso em cada tentativa (0,20),
- $ \binom{n}{k} $ é o coeficiente binomial, que calcula de quantas maneiras podemos escolher $ k $ sucessos em $ n $ tentativas.
Passo 5
Vamos calcular $ P(0) $:
Passo 6
Agora, $ P(1) $:
Passo 7
E $ P(2) $:
Passo 8
Agora, somamos essas probabilidades para obter $ P(menos de 3 acertos) $:
Passo 9
Finalmente, subtraímos isso de 1 para encontrar a probabilidade de pelo menos 3 acertos:
Resposta
A probabilidade de que pelo menos 3 das 30 flechas acertem o alvo é aproximadamente 99,19%.