Se as adutoras da SABESP apresentam um vazamento por dia por 10 km de linha, qual a chance de se encontrar, em uma inspeção de um trecho qualquer de 5 km :
mais de dois vazamentos?
mais de dois vazamentos?
Passo 1
Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos que, em média, há vazamentos em 10 km de linha por dia nas adutoras da SABESP. Queremos saber qual é a probabilidade de, ao inspecionar um trecho de 5 km, encontrarmos mais de dois vazamentos. Vamos usar a Distribuição de Poisson, que é ótima para calcular a probabilidade de um número específico de eventos acontecer em um intervalo fixo de espaço ou tempo, quando esses eventos ocorrem com uma taxa média conhecida e de forma independente.
Passo 2
Primeiro, precisamos encontrar a taxa média de vazamentos por km. Sabemos que há, em média, vazamentos em 10 km por dia. Então, a taxa média (λ) por km é:
Passo 3
Agora, queremos saber a taxa média de vazamentos em 5 km. Como a taxa é 1 vazamento por km, para 5 km teremos:
Passo 4
A Distribuição de Poisson nos dá a probabilidade de observar exatamente $ k $ eventos (vazamentos) em um intervalo. A fórmula é:
Onde:
- $ e $ é a base dos logaritmos naturais (aproximadamente 2,71828),
- $ \lambda $ é a taxa média de eventos,
- $ k $ é o número de eventos que queremos encontrar,
- $ k! $ é o fatorial de $ k $.
Passo 5
Queremos a probabilidade de encontrar mais de dois vazamentos em 5 km. Isso significa que precisamos calcular a probabilidade de encontrar 3, 4, 5, … vazamentos e somar todas essas probabilidades. Porém, uma forma mais fácil é calcular 1 menos a probabilidade de encontrar no máximo dois vazamentos:
Passo 6
Vamos calcular cada uma dessas probabilidades usando $ \lambda = 5 $:
Para $ k = 0 $:
Para $ k = 1 $:
Para $ k = 2 $:
Passo 7
Agora, somamos essas probabilidades:
Passo 8
Finalmente, calculamos a probabilidade de encontrar mais de dois vazamentos:
Resposta
A chance de encontrar mais de dois vazamentos em um trecho de 5 km é aproximadamente 87,54%.