Se as adutoras da SABESP apresentam um vazamento por dia por 10 km de linha, qual a chance de se encontrar, em uma inspeção de um trecho qualquer de 5 km :
mais de dois vazamentos?

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos que, em média, há vazamentos em 10 km de linha por dia nas adutoras da SABESP. Queremos saber qual é a probabilidade de, ao inspecionar um trecho de 5 km, encontrarmos mais de dois vazamentos. Vamos usar a Distribuição de Poisson, que é ótima para calcular a probabilidade de um número específico de eventos acontecer em um intervalo fixo de espaço ou tempo, quando esses eventos ocorrem com uma taxa média conhecida e de forma independente.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar a taxa média de vazamentos por km. Sabemos que há, em média, vazamentos em 10 km por dia. Então, a taxa média (λ) por km é:
lambdakm = 10 vazamentos10 km = 1 vazamento por km

Passo 3

Agora, queremos saber a taxa média de vazamentos em 5 km. Como a taxa é 1 vazamento por km, para 5 km teremos:
lambda = 1 times 5 = 5 vazamentos

Passo 4

A Distribuição de Poisson nos dá a probabilidade de observar exatamente $ k $ eventos (vazamentos) em um intervalo. A fórmula é:
k
Onde:
  • $ e $ é a base dos logaritmos naturais (aproximadamente 2,71828),
  • $ \lambda $ é a taxa média de eventos,
  • $ k $ é o número de eventos que queremos encontrar,
  • $ k! $ é o fatorial de $ k $.

Passo 5

Queremos a probabilidade de encontrar mais de dois vazamentos em 5 km. Isso significa que precisamos calcular a probabilidade de encontrar 3, 4, 5, … vazamentos e somar todas essas probabilidades. Porém, uma forma mais fácil é calcular 1 menos a probabilidade de encontrar no máximo dois vazamentos:
P(mais de 2) = 1 - P(0) - P(1) - P(2)

Passo 6

Vamos calcular cada uma dessas probabilidades usando $ \lambda = 5 $:
Para $ k = 0 $:
lambda = 5
Para $ k = 1 $:
k = 0
Para $ k = 2 $:
P(0) = e^-5 times 5^00! = e^-5 times 1 / 1 = e^-5 approx 0,0067

Passo 7

Agora, somamos essas probabilidades:
P(0) + P(1) + P(2) approx 0,0067 + 0,0337 + 0,0842 = 0,1246

Passo 8

Finalmente, calculamos a probabilidade de encontrar mais de dois vazamentos:
P(mais de 2) = 1 - 0,1246 = 0,8754

Resposta

A chance de encontrar mais de dois vazamentos em um trecho de 5 km é aproximadamente 87,54%.

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