Um agricultor que planta árvores frutíferas deseja testar um novo tipo de inseticida, que o fabricante garante produzir os prejuízos causados por certo tipo de inseto. Para verificar essa afirmação do fabricante, o agricultor pulveriza 200 árvores com o produto novo e 200 árvores com o produto que normalmente usa, obtendo os resultados
Estatísticas Inseticida novo Inseticida padrão
Média (kg/planta) 240 227
variância 980 820
Esses dados indicam evidencia suficiente de que o inseticida novo é melhor do que o padrão (normalmente usado)?

Passo 1

Vamos entender o que o problema está nos dizendo. Um agricultor quer testar se um novo inseticida é mais eficaz que o padrão que ele já usa. Para isso, ele aplicou o inseticida novo em 200 árvores e o inseticida padrão em outras 200 árvores. Ele mediu a quantidade de frutos por planta e obteve as seguintes médias e variâncias:
  • Inseticida novo: Média = 240 kg/planta, Variância = 980
  • Inseticida padrão: Média = 227 kg/planta, Variância = 820
Queremos saber se há evidência suficiente para concluir que o inseticida novo é melhor que o padrão.

Passo 2

Primeiro, vamos definir as hipóteses que vamos testar:
  • Hipótese Nula (H₀): O inseticida novo não é melhor que o padrão. Ou seja, a média de produção com o novo inseticida é igual ou menor que a do padrão. Matemáticamente: μ₁ ≤ μ₂
  • Hipótese Alternativa (H₁): O inseticida novo é melhor que o padrão. Ou seja, a média de produção com o novo inseticida é maior que a do padrão. Matemáticamente: μ₁ > μ₂

Passo 3

Como temos grandes amostras (200 em cada grupo) e conhecemos as variâncias, vamos usar o teste z para duas médias. Esse teste nos ajuda a comparar as médias de dois grupos diferentes para ver se há uma diferença estatisticamente significativa entre elas.

Passo 4

Vamos calcular o erro padrão da diferença das médias. A fórmula para o erro padrão (SE) é:
SE = raizsigma1^2n1 + sigma2^2n2
Onde:
  • σ₁² = 980 (variância do inseticida novo)
  • σ₂² = 820 (variância do inseticida padrão)
  • n₁ = n₂ = 200 (tamanho das amostras)
Substituindo os valores:
SE = raiz980200 + 820200 = raiz4,9 + 4,1 = raiz9 = 3

Passo 5

Agora, calculamos o valor z usando a fórmula:
z = (barX1 - barX2) - 0SE = 240 - 2273 = 133 approx 4,33

Passo 6

Com o valor z calculado, vamos verificar a significância estatística. Para um teste unilateral (já que queremos saber se o novo é melhor), e usando um nível de confiança de 5%, o valor crítico de z é aproximadamente 1,645.
Como 4,33 > 1,645, rejeitamos a hipótese nula.

Passo 7

Conclusão: Há evidência estatística suficiente para concluir que o inseticida novo é melhor que o padrão utilizado normalmente.

Resposta

Sim, os dados fornecem evidência suficiente de que o inseticida novo é melhor do que o padrão utilizado normalmente.

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