Um agricultor que planta árvores frutíferas deseja testar um novo tipo de inseticida, que o fabricante garante produzir os prejuízos causados por certo tipo de inseto. Para verificar essa afirmação do fabricante, o agricultor pulveriza 200 árvores com o produto novo e 200 árvores com o produto que normalmente usa, obtendo os resultados
Estatísticas | Inseticida novo | Inseticida padrão |
---|---|---|
Média (kg/planta) | 240 | 227 |
variância | 980 | 820 |
Esses dados indicam evidencia suficiente de que o inseticida novo é melhor do que o padrão (normalmente usado)?
Passo 1
Vamos entender o que o problema está nos dizendo. Um agricultor quer testar se um novo inseticida é mais eficaz que o padrão que ele já usa. Para isso, ele aplicou o inseticida novo em 200 árvores e o inseticida padrão em outras 200 árvores. Ele mediu a quantidade de frutos por planta e obteve as seguintes médias e variâncias:
- Inseticida novo: Média = 240 kg/planta, Variância = 980
- Inseticida padrão: Média = 227 kg/planta, Variância = 820
Queremos saber se há evidência suficiente para concluir que o inseticida novo é melhor que o padrão.
Passo 2
Primeiro, vamos definir as hipóteses que vamos testar:
- Hipótese Nula (H₀): O inseticida novo não é melhor que o padrão. Ou seja, a média de produção com o novo inseticida é igual ou menor que a do padrão. Matemáticamente: μ₁ ≤ μ₂
- Hipótese Alternativa (H₁): O inseticida novo é melhor que o padrão. Ou seja, a média de produção com o novo inseticida é maior que a do padrão. Matemáticamente: μ₁ > μ₂
Passo 3
Como temos grandes amostras (200 em cada grupo) e conhecemos as variâncias, vamos usar o teste z para duas médias. Esse teste nos ajuda a comparar as médias de dois grupos diferentes para ver se há uma diferença estatisticamente significativa entre elas.
Passo 4
Vamos calcular o erro padrão da diferença das médias. A fórmula para o erro padrão (SE) é:
Onde:
- σ₁² = 980 (variância do inseticida novo)
- σ₂² = 820 (variância do inseticida padrão)
- n₁ = n₂ = 200 (tamanho das amostras)
Substituindo os valores:
Passo 5
Agora, calculamos o valor z usando a fórmula:
Passo 6
Com o valor z calculado, vamos verificar a significância estatística. Para um teste unilateral (já que queremos saber se o novo é melhor), e usando um nível de confiança de 5%, o valor crítico de z é aproximadamente 1,645.
Como 4,33 > 1,645, rejeitamos a hipótese nula.
Passo 7
Conclusão: Há evidência estatística suficiente para concluir que o inseticida novo é melhor que o padrão utilizado normalmente.
Resposta
Sim, os dados fornecem evidência suficiente de que o inseticida novo é melhor do que o padrão utilizado normalmente.