A água doce de uma represa tem uma profundidade
. Um cano horizontal de
de diâmetro atravessa a represa a uma profundidade de
. Uma tampa que fechava a abertura do cano é retirada. Qual o volume de água (em
) que sai do cano num intervalo de 3,0 horas?
Passo 1
Vamos resumir o problema: temos uma represa com profundidade total de 15 metros. Um cano horizontal com diâmetro de 3,4 cm atravessa a represa a uma profundidade de 4,2 metros. Quando a tampa do cano é removida, água começa a sair por ele. Queremos descobrir o volume de água que sai do cano em 3,0 horas.
Os tópicos envolvidos aqui são a hidrodinâmica, especificamente a Lei de Torricelli, que nos ajuda a determinar a velocidade com que a água sai pelo cano. Para resolver o exercício, precisamos calcular a velocidade de saída da água, a área da seção transversal do cano e, finalmente, o volume de água que flui em 3 horas.
Passo 2
Primeiramente, vamos calcular a altura da coluna de água que está acima da abertura do cano. A profundidade total da represa é 15 m, e o cano está a 4,2 m de profundidade. Portanto, a altura da água acima do cano é:
Passo 3
Agora, vamos determinar a velocidade com que a água sai do cano usando a Lei de Torricelli, que afirma que a velocidade $ v $ da água é dada por:
onde $ g $ é a aceleração da gravidade ($ \approx 9,81,m/s^2 $) e $ h $ é a altura da coluna de água. Substituindo os valores:
Passo 4
Calculando a velocidade:
Passo 5
Em seguida, vamos calcular a área da seção transversal do cano. O diâmetro do cano é de 3,4 cm, o que é igual a 0,034 m. A área $ A $ de um círculo é dada por:
Substituindo o diâmetro:
Passo 6
Calculando a área:
Passo 7
Agora, vamos calcular o fluxo de água $ Q $, que é a quantidade de água que passa pelo cano por segundo. Isso é dado por:
Substituindo os valores:
Passo 8
Por fim, queremos saber o volume total de água que sai do cano em 3,0 horas. Primeiro, convertemos o tempo para segundos:
Então, o volume $ V $ é:
Resposta
O volume de água que sai do cano em 3,0 horas é de aproximadamente $ 142,56,\mathrm{m}^{3} $.