A água escoa através de um medidor Venturi cujo diâmetro é de 7 cm na parte da entrada e de 4 cm na garganta. A pressão é medida como 430 kPa na entrada e 120 kPa na garganta. Desprezando os efeitos do atrito, determine a vazão da água. Resposta: 0,538 m^3 / s

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um medidor Venturi, que é um dispositivo usado para medir a vazão de um fluido (neste caso, água) através de um tubo que muda de diâmetro. O exercício envolve hidrodinâmica, especificamente o princípio de Bernoulli e a continuidade de fluxos. Para resolver, vamos precisar das fórmulas de conservação de massa e energia para fluidos incompressíveis.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular as áreas das duas seções do Venturi. A área A = pi (d2)^2 de um círculo é dada por:
A1 = pi (7, cm2)^2 = pi (3,5, cm)^2 = pi times 12,25, cm^2 approx 38,48, cm^2
onde A2 = pi (4, cm2)^2 = pi (2, cm)^2 = pi times 4, cm^2 approx 12,57, cm^2 é o diâmetro.
Para a entrada:
Para a garganta:

Passo 3

Agora, aplicamos o princípio da conservação de massa, que nos diz que a vazão Q = A1 v1 = A2 v2 é constante:
v2 = A1A2 v1
onde v2 = 38,4812,57 v1 approx 3,06 v1 e são as velocidades da água na entrada e na garganta, respectivamente.
Podemos rearranjar para encontrar a relação entre as velocidades:
Substituindo os valores das áreas:

Passo 4

Em seguida, aplicamos o princípio de Bernoulli, que relaciona pressão, velocidade e altura em dois pontos diferentes do fluxo. Como a altura é a mesma e desprezamos efeitos de atrito, a equação simplifica para:
P1 + 12 rho v1^2 = P2 + 12 rho v2^2
onde 430, kPa + 12 times 1000, kg/m^3 times v1^2 = 120, kPa + 12 times 1000, kg/m^3 times (3,06 v1)^2 é a pressão e é a densidade da água (aproximadamente ).
Substituindo da etapa anterior:

Passo 5

Vamos converter as pressões para Pascals:
430, kPa = 430,000, Pa
120, kPa = 120,000, Pa
Substituindo na equação:
430,000 + 500 v1^2 = 120,000 + 500 times 9,36 v1^2
430,000 - 120,000 = 500 times 9,36 v1^2 - 500 v1^2
310,000 = 500 (9,36 - 1) v1^2
310,000 = 500 times 8,36 v1^2
310,000 = 4180 v1^2
v1^2 = 310,0004180 approx 74,17
v1 approx raiz74,17 approx 8,61, m/s

Passo 6

Agora que temos Q = A1 v1 , podemos encontrar a vazão A1 = 38,48, cm^2 = 0,003848, m^2 :
Q = 0,003848, m^2 times 8,61, m/s approx 0,0331, m^3/s
Mas precisamos das áreas em metros quadrados. Convertendo:
No entanto, esse valor está muito abaixo do esperado. Vamos verificar os cálculos.

Passo 7

Reavaliando as etapas anteriores, percebemos que houve um erro na conversão das áreas. Vamos recalcular as áreas corretamente:
Para a entrada:
A1 = pi (0,07, m2)^2 = pi times 0,001225, m^2 approx 0,00385, m^2
Para a garganta:
A2 = pi (0,04, m2)^2 = pi times 0,0004, m^2 approx 0,001257, m^2

Passo 8

Repetindo a relação de velocidades com as áreas corretas:
v2 = A1A2 v1 = 0,003850,001257 v1 approx 3,06 v1
Aplicando novamente o princípio de Bernoulli:
430,000 + 500 v1^2 = 120,000 + 500 times (3,06)^2 v1^2
430,000 - 120,000 = 500 (9,36) v1^2 - 500 v1^2
310,000 = 500 times 8,36 v1^2
v1^2 = 310,0004180 approx 74,17
v1 approx 8,61, m/s

Passo 9

Calculando a vazão Q = A1 v1 = 0,00385, m^2 times 8,61, m/s approx 0,0331, m^3/s novamente:
Ainda está abaixo do valor esperado. Vamos verificar se aplicamos corretamente o princípio de Bernoulli.

Passo 10

Na verdade, a fórmula de Bernoulli deve considerar a diferença de pressões diretamente relacionada às velocidades. Podemos reorganizar a equação para encontrar P1 - P2 = 12 rho (v2^2 - v1^2) de forma mais precisa:
310,000 = 12 times 1000 times (9,36 v1^2 - v1^2)
310,000 = 500 times 8,36 v1^2
v1^2 = 310,0004180 approx 74,17
v1 approx 8,61, m/s
Ainda chegamos ao mesmo resultado, mas a resposta esperada é . Isso sugere que provavelmente a unidade de diâmetros estava em centímetros e já foi convertida corretamente. Entretanto, seguindo os cálculos, a resposta obtida é diferente. É possível que haja um erro no enunciado ou na interpretação das unidades.

Resposta

A vazão da água é aproximadamente .

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