Água escoa em regime permanente no interior de um tubo de 82 mm in de diâmetro, sendo descarregada para a atmosfera através de um bocal com diâmetro 32 mm . A vazão é 93 L/min. Calcule a pressão estática mínima requerida na água do tubo para produzir essa vazão.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você tem um tubo com diâmetro de 82 mm por onde a água está escoando de forma constante e está sendo descarregada para a atmosfera através de um bocal com diâmetro de 32 mm. A vazão da água é de 93 litros por minuto. O que precisamos encontrar é a pressão estática mínima que a água no tubo deve ter para conseguir essa vazão.
Matéria envolvida: Mecânica dos Fluidos, especificamente as Equações de Continuidade e de Bernoulli.
O que vamos precisar:
  • Converter unidades de vazão para o Sistema Internacional.
  • Aplicar a Equação de Continuidade para encontrar as velocidades da água no tubo e no bocal.
  • Utilizar a Equação de Bernoulli para relacionar as pressões e velocidades e encontrar a pressão estática mínima.

Passo 2

Primeiro, vamos converter a vazão de litros por minuto para metros cúbicos por segundo, porque trabalharemos com unidades do Sistema Internacional.
93 L/min = 93 times 10^-3 m^3/min
Como há 60 segundos em um minuto:
93 times 10^-3 div 60 = 1,55 times 10^-3 m^3/s
Então, a vazão é de .

Passo 3

Agora, vamos usar a Equação de Continuidade, que nos diz que a vazão é igual em qualquer ponto do fluxo para um escoamento incompressível e estacionário:
Q = A1 v1 = A2 v2
Onde:
  • A1 = pi ( D12 )^2 = pi ( 0,0822 )^2 approx 5,28 times 10^-3 m^2 é a área da seção transversal,
  • A2 = pi ( D22 )^2 = pi ( 0,0322 )^2 approx 8,04 times 10^-4 m^2 é a velocidade do fluido.
Primeiro, calculamos as áreas dos dois diâmetros.
Para o tubo de 82 mm:
v1 = QA1 = 1,55 times 10^-35,28 times 10^-3 approx 0,294 m/s
Para o bocal de 32 mm:
v2 = QA2 = 1,55 times 10^-38,04 times 10^-4 approx 1,93 m/s
Agora, resolvemos para as velocidades:

Passo 4

Vamos aplicar a Equação de Bernoulli, que relaciona a pressão, a velocidade e a altura em dois pontos do fluxo. Como a água está sendo descarregada para a atmosfera, podemos considerar que a pressão no bocal é a pressão atmosférica P1 + 12 rho v1^2 + rho g h = Patm + 12 rho v2^2 .
A equação fica assim:
P1 + 12 rho v1^2 = Patm + 12 rho v2^2
Assumindo que a altura P1 = Patm + 12 rho v2^2 - 12 rho v1^2 não muda significativamente, podemos simplificar para:
Queremos encontrar , a pressão estática no tubo. Rearranjando a equação:
Onde:
  • é a densidade da água ( ),
  • é a aceleração da gravidade ( ).

Passo 5

Agora, vamos inserir os valores na equação para encontrar 12 rho v2^2 = 12 times 1000 times (1,93)^2 approx 1.866,45 Pa .
Primeiro, calculamos cada termo:
12 rho v1^2 = 12 times 1000 times (0,294)^2 approx 43,24 Pa
P1 = Patm + 1.866,45 - 43,24 approx Patm + 1.823,21 Pa
Substituindo na equação:
P1 approx 1.823,21 Pa
Como é a pressão atmosférica, se considerarmos que estamos buscando a pressão acima da atmosfera, será:

Resposta

A pressão estática mínima requerida na água do tubo para produzir a vazão de 93 L/min é de aproximadamente 1.823 Pa acima da pressão atmosférica.

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