No escoamento de um fluido incompressível entre duas placas fixas infinitas, o diagrama de velocidades é dado por , onde é uma constante, é a distância entre as duas placas e é uma coordenada perpendicular às placas, com origem numa delas. Determinar e a vazão em volume por unidade de largura.
Passo 1
Ok, então temos um fluido incompressível escoando entre duas placas paralelas fixas e infinitas. A velocidade do fluido é descrita pela equação , onde é uma constante, é a distância entre as placas, e é a coordenada perpendicular às placas, medindo a partir de uma delas. Nosso objetivo aqui é encontrar a relação entre a velocidade média e a velocidade máxima , além de determinar a vazão volumétrica por unidade de largura.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar qual é a velocidade máxima . A velocidade máxima ocorre no ponto onde a derivada da velocidade em relação a é zero. Matemática disso, calculamos:
Igualando a zero para encontrar o ponto de máximo:
Então, substituindo na equação da velocidade:
Passo 3
Agora, vamos calcular a velocidade média . A velocidade média é a média da velocidade ao longo da distância entre as placas. Para isso, integramos de 0 a e dividimos por :
Primeiro, expandimos a expressão dentro da integral:
Integrando termo a termo:
Assim, a velocidade média é:
Passo 4
Agora, vamos determinar a relação á. Temos:
á
Dividindo as duas expressões:
á
Passo 5
Por fim, vamos calcular a vazão volumétrica por unidade de largura. A vazão é dada pela integral da velocidade sobre a distância :
Já calculamos essa integral anteriormente e vimos que:
Portanto, a vazão por unidade de largura é:
Resposta
A razão entre a velocidade média e a velocidade máxima é á e a vazão volumétrica por unidade de largura é .