No escoamento de um fluido incompressível entre duas placas fixas infinitas, o diagrama de velocidades é dado por vx=C y(h-y), onde C é uma constante, h é a distância entre as duas placas e y é uma coordenada perpendicular às placas, com origem numa delas. Determinar vm / v máx á e a vazão em volume por unidade de largura.

Passo 1

Ok, então temos um fluido incompressível escoando entre duas placas paralelas fixas e infinitas. A velocidade do fluido é descrita pela equação , onde é uma constante, é a distância entre as placas, e é a coordenada perpendicular às placas, medindo a partir de uma delas. Nosso objetivo aqui é encontrar a relação entre a velocidade média e a velocidade máxima á, além de determinar a vazão volumétrica por unidade de largura.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar qual é a velocidade máxima dvxdy = C (h - 2y) á. A velocidade máxima ocorre no ponto onde a derivada da velocidade em relação a C (h - 2y) = 0 implies y = h2 é zero. Matemática disso, calculamos:
vmáx = C ( h2 ) ( h - h2 ) = C ( h2 )^2 = C h^24
Igualando a zero para encontrar o ponto de máximo:
Então, substituindo na equação da velocidade:
á

Passo 3

Agora, vamos calcular a velocidade média vm = 1h integral0^h C y (h - y) , dy . A velocidade média é a média da velocidade ao longo da distância entre as placas. Para isso, integramos C y (h - y) = C (h y - y^2) de 0 a integral0^h C (h y - y^2) , dy = C ( h y^22 - y^33 ) g|0^h = C ( h^32 - h^33 ) = C ( h^36 ) e dividimos por vm = 1h cdot C h^36 = C h^26 :
Primeiro, expandimos a expressão dentro da integral:
Integrando termo a termo:
Assim, a velocidade média é:

Passo 4

Agora, vamos determinar a relação vm = C h^26 e vmáx = C h^24 á. Temos:
vmvmáx = C h^26C h^24 = 46 = 23 á
Dividindo as duas expressões:
á

Passo 5

Por fim, vamos calcular a vazão volumétrica por unidade de largura. A vazão Q = integral0^h vx , dy = integral0^h C y (h - y) , dy é dada pela integral da velocidade sobre a distância integral0^h C y (h - y) , dy = C h^36 :
Q = C h^36
Já calculamos essa integral anteriormente e vimos que:
Portanto, a vazão por unidade de largura é:

Resposta

A razão entre a velocidade média e a velocidade máxima é á e a vazão volumétrica por unidade de largura é .

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