Água escoa em regime permanente através de um tubo liso de 150 mm de diâmetro com isolamento térmico. Estime o aumento de temperatura da água por quilômetro de comprimento do tubo.

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos água fluindo de maneira constante (regime permanente) por um tubo liso com diâmetro de 150 mm e isolamento térmico. Precisamos estimar quanto a temperatura da água aumenta a cada quilômetro de tubo.
Conteúdo da matéria: Vamos precisar utilizar conceitos de hidrodinâmica e termodinâmica, especialmente relacionados à dissipação de energia devido ao atrito interno do fluido ao escoar pelo tubo.

Passo 2

Primeiro, precisamos calcular a perda de energia por atrito que ocorre conforme a água escoa pelo tubo. Essa perda de energia se transforma em calor, aumentando a temperatura da água.
A fórmula para calcular a perda de potência devido ao atrito em um fluxo laminar é:
P = 32 mu Q LD^2
onde:
  • é a potência perdida (W),
  • é a viscosidade dinâmica da água (Pa·s),
  • é a vazão volumétrica (m³/s),
  • é o comprimento do tubo (m),
  • é o diâmetro do tubo (m).

Passo 3

Vamos considerar que o fluxo está em regime laminar. A viscosidade dinâmica da água ( ) a temperatura ambiente é aproximadamente Pa·s.
Também precisamos saber a vazão volumétrica ( ) para prosseguir. Como não foi fornecida, assumiremos um valor típico para facilitar a estimativa. Vamos considerar uma vazão de m³/s.

Passo 4

Convertendo o diâmetro do tubo para metros:
D = 150 mm = 0,15 m
E o comprimento do tubo para o qual queremos a estimativa:
L = 1 km = 1000 m

Passo 5

Substituindo os valores na fórmula da potência perdida:
P = 32 times 1 times 10^-3 times 0,01 times 10000,15^2 = 32 times 1 times 10^-3 times 0,01 times 10000,0225 approx 0,320,0225 approx 14,22 W

Passo 6

Agora, para encontrar o aumento de temperatura ( Qcalor = m times c times De), usamos a relação entre a energia fornecida e o calor necessário para elevar a temperatura da água:
De
onde:
  • é a energia convertida em calor (J),
  • é a massa de água (kg),
  • é a capacidade térmica específica da água ( J/kg·°C),
  • é a variação de temperatura (°C).
Sabemos que , onde é o tempo.
Mas queremos por quilômetro, então rearranjamos a fórmula:

Passo 7

Precisamos relacionar o tempo ( v = Lt Rightarrow t = Lv ) com o comprimento do tubo. Se a água percorre 1 km em um tempo m = rho times Q times t = rho times Q times Lv , a velocidade ( De) do fluxo é:
A massa ( ) de água que passa pelo tubo em 1 km é:
onde é a densidade da água ( kg/m³).
Substituindo na equação de :
Perceba que e se cancelam.

Passo 8

Substituindo os valores:
De

Resposta

O aumento de temperatura da água é de aproximadamente 0,00034 °C por quilômetro de comprimento do tubo.

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