Água liquida flui em um tubo com a superficie interna revestida com cloreto de polivinilideno (PVDC). O diâmetro interno do tubo é de 24 mm e a espessura da parede é de 5 mm . A condutividade térmica da parede do tubo é
. A água que flui no tubo tem uma temperatura de
e o coeficiente de transferência de calor por convecção com a superficie interna do tubo é de
. A superfície externa do tubo está sujeita a um fluxo de calor uniforme de
. De acordo com o Código ASME para Tubulação de Processo (ASME B31.3-2014, A323), a temperatura máxima recomendada para revestimento de PVDC é
. (a) Expresse o perfil de temperatura na parede do tubo.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos um tubo por onde passa água líquida, e a parede interna do tubo está revestida com PVDC. As informações fornecidas incluem diâmetro interno, espessura da parede, condutividade térmica do material da parede, temperaturas da água e limites de temperatura para o revestimento. O que precisamos fazer aqui é expressar o perfil de temperatura através da parede do tubo. Para resolver isso, vamos usar conceitos de transferência de calor, especificamente condução de calor em geometria cilíndrica, considerando as condições de contorno dadas.
Passo 2
Primeiro, vamos entender que estamos lidando com transferência de calor por condução em estado estacionário dentro de uma parede de tubo cilíndrico. A equação que descreve isso, em coordenadas cilíndricas, para estado estacionário (sem variação no tempo), é:
Essa equação simplifica para:
Passo 3
Agora, vamos integrar a equação diferencial para encontrar a expressão geral para a temperatura $ T® $.
Primeira integração:
Onde $ C_1 $ é uma constante de integração.
Segunda integração:
Onde $ C_2 $ é outra constante de integração.
Passo 4
Vamos aplicar as condições de contorno para encontrar as constantes $ C_1 $ e $ C_2 $.
Condição de contorno interna (superfície interna do tubo):
A transferência de calor por convecção é dada por:
Onde:
- $ q’’_i $ é o fluxo de calor por unidade de área na superfície interna,
- $ h $ é o coeficiente de transferência de calor por convecção,
- $ T_i $ é a temperatura na superfície interna,
- $ T_{água} = 20^\circ C $.
Condição de contorno externa (superfície externa do tubo):
A transferência de calor por condução na superfície externa é igual ao fluxo de calor aplicado:
Onde:
- $ q’’_o = 2300 , W/m^2 $,
- $ k = 15 , W/m·K $,
- $ r_o = r_i + espessura = 12 , mm + 5 , mm = 17 , mm = 0,017 , m $.
Passo 5
Vamos relacionar as condições de contorno com a solução geral $ T® = C_1 \ln® + C_2 $:
- Na superfície interna ($ r = r_i = 0,012 , m $):
E, da solução:
Logo:
- Na superfície externa ($ r = r_o = 0,017 , m $):
Dessa última equação, podemos encontrar $ C_1 $:
Passo 6
Agora, substituímos $ C_1 $ na primeira condição para encontrar $ C_2 $:
Resolvendo essa equação para $ C_2 $, obtemos:
Resposta
O perfil de temperatura na parede do tubo é dado por:
Onde $ r $ é a distância radial em metros a partir do centro do tubo.