Água quente com temperatura de 80^circ C escoa no interior de um duto de aço com raio interno de 2 cm , raio externo de 2,3 cm e comprimento de 5 m . O duto está em contato com o ar ambiente, que mantém a temperatura de 25^circ C. A partir desta situação, determine:
(a) A taxa de calor que passa da água para o ar ambiente em WATTS.

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos água quente a passando por um duto de aço com raio interno de 2 cm, raio externo de 2,3 cm e comprimento de 5 metros. Esse duto está em contato com o ar ambiente a . A gente precisa descobrir qual é a taxa de calor que passa da água para o ar, ou seja, quantos watts de calor estão sendo transferidos.
Para resolver isso, vamos usar conceitos de transferência de calor por condução em uma parede cilíndrica e considerar também a convecção no lado externo do duto. Precisaremos das seguintes informações:
  • Temperaturas internas e externas ( e )
  • Raios interno e externo do duto ( e )
  • Comprimento do duto ( )
  • Condutividade térmica do aço ( )
  • Coeficiente de transferência de calor por convecção do ar ( )

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a transferência de calor pela condução através da parede do duto de aço. A fórmula para a transferência de calor por condução em uma parede cilíndrica é:
Qcond = 2 pi L k (Ti - To)ln(rori)
Onde:
  • L = 5,m, ri = 0,02,m, ro = 0,023,m, Ti = 80,^circC, To = 25,^circC é a taxa de transferência de calor por condução (W)
  • é o comprimento do duto (m)
  • é a condutividade térmica do aço (W/m·K)
  • e são as temperaturas interna e externa (°C)
  • e são os raios interno e externo (m)
  • é o logaritmo natural
Vamos substituir os valores conhecidos:
Quanto à condutividade térmica do aço ( ), vamos usar um valor típico de .

Passo 3

Agora, vamos calcular o logaritmo natural da razão dos raios:
ln(rori) = ln(0,0230,02) = ln(1,15) approx 0,1398

Passo 4

Substituindo todos os valores na fórmula da condução:
Qcond = 2 pi times 5,m times 50,W/m·K times (80,^circC - 25,^circC)0,1398
Calculando a diferença de temperatura:
80,^circC - 25,^circC = 55,^circC

Passo 5

Agora, substituindo os valores:
Qcond = 2 pi times 5 times 50 times 550,1398
Primeiro, vamos calcular o numerador:
2 pi times 5 times 50 times 55 = 2 times 3,1416 times 5 times 50 times 55 approx 2 times 3,1416 times 5 times 50 times 55 = 2 times 3,1416 times 5 times 50 times 55 approx 2 times 3,1416 times 5 times 50 times 55 = 2 times 3,1416 times 13.750 approx 2 times 43,982 approx 87,964

Passo 6

Agora, dividimos pelo denominador:
Qcond = 87,9640,1398 approx 629,3,W

Passo 7

Até aqui, calculamos a taxa de calor que passa pela condução através da parede do duto. Porém, precisamos considerar também a convecção do calor do duto para o ar ambiente. A fórmula para a transferência de calor por convecção é:
Qconv = h times A times (To - Tamb)
Onde:
  • é a taxa de transferência de calor por convecção (W)
  • é o coeficiente de transferência de calor por convecção (W/m²·K)
  • é a área superficial externa do duto (m²)
  • é a temperatura externa do duto (°C)
  • é a temperatura ambiente (°C)
Para simplificar, vamos assumir que o calor transferido por condução é igual ao transferido por convecção em estado estacionário, então podemos relacionar as duas taxas.

Passo 8

Igualando 2 pi L k (Ti - To)ln(rori) = h times A times (To - Tamb) :
A = 2 pi ro L
A área superficial externa do duto é:
2 pi L k (Ti - To)ln(rori) = h times 2 pi ro L times (To - Tamb)
Substituindo na equação:
k (Ti - To)ln(rori) = h ro (To - Tamb)
Podemos simplificar cancelando dos dois lados:

Passo 9

Agora, resolvemos para h = k (Ti - To)ro ln(rori) (To - Tamb) :
h = 50 times 550,023 times 0,1398 times (25 - 25)
Substituindo os valores:
Perceba que , o que não faz sentido físico já que não haveria transferência de calor. Isso indica que houve um erro na abordagem. Na verdade, o correto é considerar a diferença de temperatura entre o exterior do duto e o ambiente, que é e , o que resulta em nenhuma transferência de calor por convecção, mas isso não é realista.
Portanto, provavelmente precisamos usar apenas a condução através do duto, assumindo que o exterior está mantido a .

Resposta

A taxa de calor que passa da água para o ar ambiente é aproximadamente .

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