Água quente com temperatura de 80^circ C escoa no interior de um duto de aço com raio interno de 2 cm , raio externo de 2,3 cm e comprimento de 5 m . O duto está em contato com o ar ambiente, que mantém a temperatura de 25^circ C. A partir desta situação, determine:
(b) A temperatura na superfície externa do duto.
DADOS:
kaço =35 W cdot m^-1 cdot ^circ C^-1 ; hágua =4000 W cdot m^-2 cdot ^circ C^-1 ; har =10 W cdot m^-2 cdot ^circ C^-1 çá

Passo 1

Primeiro, vamos resumir o que o exercício pede e identificar os conceitos que vamos usar. A gente tem um duto de aço com água quente escoe por dentro. Queremos descobrir qual é a temperatura na superfície externa desse duto. Para resolver isso, vamos usar conceitos de transferência de calor por condução e convecção. Precisamos entender como o calor passa da água, através do aço, e finalmente para o ar ambiente.

Passo 2

Vamos começar identificando as áreas envolvidas na transferência de calor. O duto tem um raio interno de 2 cm e um raio externo de 2,3 cm, com um comprimento de 5 m. Precisamos calcular a área interna e a área externa do duto, pois elas são importantes para as transferências de calor por convecção.
A área de uma superfície lateral de um cilindro é dada por:
A = 2pi r L
onde Ainterna = 2 pi times 0,02 , m times 5 , m = 0,2 pi , m^2 é o raio e Aexterna = 2 pi times 0,023 , m times 5 , m = 0,23 pi , m^2 é o comprimento.
Calculando a área interna ( ):
Calculando a área externa ( ):

Passo 3

Agora, vamos considerar que o fluxo de calor é constante através das três etapas: convecção da água para a superfície interna do duto, condução através do aço, e convecção da superfície externa para o ar. Assim, podemos igualar as três expressões para o fluxo de calor Q = hágua times Ainterna times (Tágua - Tsuperfície interna) :
  1. Convecção da água para a superfície interna:
Q = kaço times Aexternaln(rexterna / rinterna) times (Tsuperfície interna - Tsuperfície externa) ááí
  1. Condução através do aço:
Q = har times Aexterna times (Tsuperfície externa - Tar) çíí
  1. Convecção da superfície externa para o ar:
í

Passo 4

Como o fluxo de calor hágua times Ainterna times (Tágua - Tsuperfície interna) = kaço times Aexternaln(rexterna / rinterna) times (Tsuperfície interna - Tsuperfície externa) é o mesmo nas três etapas, podemos igualar as expressões:
kaço times Aexternaln(rexterna / rinterna) times (Tsuperfície interna - Tsuperfície externa) = har times Aexterna times (Tsuperfície externa - Tar) ááíçíí
çííí

Passo 5

Vamos simplificar as equações. Primeiro, notamos que as áreas externas se cancelam nas equações. Assim, podemos resolver para í:
Primeiro, resolvemos para í em termos de í usando a primeira igualdade e depois substituímos na segunda igualdade.
Depois de realizar as operações algébricas necessárias, chegamos a uma expressão que relaciona todas as temperaturas conhecidas e a temperatura que queremos encontrar.

Passo 6

Substituindo os valores numéricos fornecidos:
  • á
  • ç
  • á
Vamos calcular os termos passo a passo para encontrar í.

Passo 7

Após realizar todos os cálculos, encontramos que a temperatura na superfície externa do duto é aproximadamente .

Resposta

A temperatura na superfície externa do duto é aproximadamente .

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